T14.導數——三角函數與隱零點初探

2019年全國一卷文科數學第20題

這是我印象中全國卷第一次在大題裡出現導數與三角函數結合的題型

值得一提的是，2017年山東卷就已經出現了導數與三角函數結合的題目。我放個連結，你們可以自行查看。

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第（1）問，求證導函數的零點個數，話不多說，先求導

要知道導函數的零點個數，就要了解導函數的單調性以及運用零點存在定理。所以自然就要二階導了。即

接下來，要分析導函數的大小。因為x∈（0,π/2），所以x恆正，就看cosx的大小情況。結合餘弦函數圖像得知，當x∈（0,π/2)時，cosx>0,當x∈（π/2，π）時，cosx<0.小結一下。

單調性確定了，接下來就要用零點存在定理

所以，在解函數零點個數問題時，分兩部分看，一是單調性（通過求導，二階導可知），二是零點存在定理（要靈活取值）

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第（2）問，就要用到隱零點了，這是一個在模擬題中被玩爛了的套路，不過它卻第一回出現在全國卷中（我印象中的），可見全國卷的命題是比較謹慎的。

在前幾篇文章中，我提到解決含參問題時，要優先考慮參變分離。但是這個函數中存在三角函數，且如果把x除過去，還需要分類討論。因此本題不會使用參變分離。

接第（1）問

下一步，就有點投機取巧的意思了。既然當x∈[0,π]時，f(x)≥ax恆成立，那麼不妨在這個區間裡取特殊值來縮小a的取值範圍。

就是下圖的效果

f(x)≥0恆成立

f(x)≥0≥ax,又因為0≤x≤π,所以a的取值範圍為（-∞，0]

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總結：

1.隱零點問題，說到底還是對單調性和零點存在定理的熟練運用

2.當題中給明自變量取值範圍時，可以代入幾個值進去，縮小參數的取值範圍（我經常在考試裡這麼幹，可以騙到分）

3通常的隱零點問題，會先得出f′(x0)=0這一關係式帶入到極值f(x0)中再求導解出答案。