張進安老師的問題到Riemann 的復變定理

在《數學傳播》2020 年第1 期刊登的的探源與推廣 一文[19] 中, 張進安老師推導了與Fibonacci 數列

張進安老師還得到, 對一切正整數 k, 有

他認為(2)式中的k不必限於正整數, 例如取 k=log2, 就有

更進一步, 張進安老師認為可以令 k=logr(注意, 這相當於令

[在原文中,(4)式右邊分母中的r被誤寫為

張進安老師在文章末尾進一步提出一個問題。他注意到, (4) 中的 r 不必限於正數, 對 r=−2,−3也成立。於是問：有誰能將這個問題說得更清楚？臺灣大學數學系張鎮華教授在發表於2020 年第2 期《數學傳播》的文章

整個文章所討論的問題, 似乎以生成函數(generating function) 的觀點最為直接。令Fibonacci 數列

則一個簡單的推理告訴我們, 如果

推理如下 ：

從而

由此就推出(6)。並且, 從等式(7)立即可以看出冪級數(5)對

是方程

問題： 冪級數(5)究竟對那些複數z收斂呢? (也許張進安老師只考慮實數。)

回答這類問題的一個基本結果, 是著名的Cauchy--Hadamard 公式。我們引述如下(參見[2][p.73] 定理1.2, 作者稱之為Abel 定理, 並將Cauchy--Hadamard 公式稱作Hadamard 公式)：

定理1 (Cauchy--Hadamard公式)：冪級數

且冪級數在這個圓的外部任何點處都發散。

回到

如果我們知道的通項公式, 其實是可以求出上述極限(準確的說, 可以直接算出極限)。當然如果知道

在複變函數中, 我們有下述基本結果(參見 [3][pp. 73--74], 作者概括為函數f(z)在其冪級數收斂圓周上必有奇點, 我們重新表述如下) ：

定理2 (Riemann定理):函數f(z)在原點處的冪級數的收斂圓盤, 恰好是使得函數f(z)有定義並且解析的最大圓盤 |z|<R。

據 [6] 講, Riemann 在1856 年關於複分析的講義中提出定理2, 並(早於Hadamard) 重新發現了定理1中的公式(9)。

回到冪級數(5), 我們知道, 它是

於是根據定理1," 級數(5)對對一切

注1：這裡介紹的方法適用於由高階遞推關係(給定初值

(其中

的收斂區域問題之討論。此時容易確定, 若(14)對某複數z收斂, 則必收斂於其生成函數(推導如前, 也可參見 [1][pp.337--338])

而且可以確定出使得(16)成立的z的一個範圍為|z|<R,        (17) 

其中R可以如下確定。設d(x)是P(x)，Q(x)的最大公因式，

則R=多項式

級數（14）對滿足

我們相信, 這一結果不是新的, 但絕不是人人都了解。值得注意的是, 以上結果包含了

定理3：設f(x)是x的d次多項式,則

其中

考慮到這個情形特別簡單, 我們給出一個直接的證明。

證明：根據級數收斂的必要條件,我們推出,當

由此容易推出

,從而

從而我們有

對冪級數等式

在收斂圓|z|<1|內求k階導, 我們有

變形即得

代入(22)式即得(19)。在(19)式中令

注2：我們特別要指明,定理2可以使我們冪級數(23) 的收斂範圍是 |z|<1獲得更深刻的理解。事實上, 從複變函數的觀點來看, 根本的原因就在於複變函數

我開始參加大學的研討班, 在那裡我發現自己壓力很大。我做數學的方式不合適宜。當時, 數學界掀起了一股風氣：對嚴謹的證明的要求、 對實變函數論的濃厚興趣。(今天看來, 這種嚴格性和這個特殊理論已陳腐過時, 但在那時⋯⋯)

直到那時, 我才認識到, 很重要的是：函數未必是連續的, 連續的函數未必是可微的, 一階可微的函數未必是二階可微的, 如此等等；甚至一個無窮次可微的函數, 其Taylor 級數也未必是收斂的；即便收斂, 也未必收斂到函數本身。如果函數的Taylor 級數剛巧收斂到它本身, 這個函數就稱為解析的。(實變函數論愛好者認為) 這類函數是如此狹窄, 以至於它被排除在主流數學之外。而在此之前, 我就只見過這類函數。

在這種觀點的影響下,我讀了de la Vallée-Poussin的"現代化的、嚴格化的"分析教材( Cours d'analyse )。它類似於目前莫斯科大學數學力學系用的教材,但更好一些。因此我很同情那些大一學生,他們只有在歷經長達一年的強調"嚴格基礎"的痛苦考驗之後,才能體會到數學分析的美妙。

即便如此, 我也是幸運的, 我讀了II Privalov 關於單複變函數的卓越教材(指1927 年出版的《複變函數引論》), 有閔嗣鶴等譯的中譯本)。讀這本書時, 我理解了, 為什麼函數

讀完前100 頁, 我感到一陣清風拂過。我發現, 如果一個複變函數有一階導數, 那麼就自動有任意階的導數, 並且其Taylor 級數在某個區域內收斂到函數本身。每樣東西都找到了自己的位置, 又恢復了和諧。

張老師 [18],[19]提出的這類問題, 恰好可以利用複變函數的結果(定理2)獲得近乎圓滿的解決。已故享譽全球之大數學家陳省身先生(1911∼∼2004) 多次強調複數的美妙與重要。比如, 他曾在美國數學會的Notices 訪談中[5] 提到："My main idea is that you should do topology or global geometry in the complex case. The complex case has more structure and is in many ways simpler than the real case. So I introduced the complex Chern classes." 相信讀者已從本文之討論對複數之美妙有所體會。

注3：最後,我要指出,在上文寫成後,為給讀者指引一個關於討論Fibonacci數列通項公式的文獻,我從《數學傳播》通過關鍵字搜索,得到意外收穫,即發現本刊刊登了幾篇與張老師所論問題相關的文獻,見[8],[9],[14], 特別是 [14]。這些作者的討論正是基於Fibonacci 數列的通項公式, 而且只考慮實數。其結果均可用此處的概念性方法而非計算得到。本文的重點不在於重新推導, 而在於從複變函數的眼光來理解其本質。正如德國大數學家Kronecker (1823∼∼1891)所說："Analysis does not owe its really significant successes of the last century to any mysterious use of

附記

本文投稿之後, 作者進一步思考了級數(14)在|z|=R上的收斂性問題。蒙昔日恩師指點, 解決了這一問題。結論是：在|z|=R上, 級數 (14)總是發散的。我們表述成以下定理(相信它不是新的)。

定理4：設多項式P(z),Q(z)互素, P(z)的次數小於Q(z)的次數, 且Q(0)≠0。設有理函數

.  令Q(z)的所有根的模長之最小值為r, 則我們有下述結論：

令人驚訝的是, 以下的證明完全避開了冪級數的收斂半徑(Abel定理), 也不需要複變函數的Riemann 定理, 只需要一個巧妙的引理(下面的引理1) 和關於有理生成函數的一般展開定理(我們有推導)。

其中

引理1,設

再附記

作者在2020 年8 月8 日了解到, 有理函數之冪級數在收斂圓周上不收斂(定理4) 這一結果確實不是新的, 它蘊含於Pólya 和Szegö 的名著《分析中的問題與定理》[15][p.152] 的問題246：

命題1： 設冪級數在收斂圓周上有一個極點,則冪級數在收斂圓周的每一點都不收斂。

其證明用到了E. Cesàro 的一個結果 ([15][p.20] 問題85), 如下：

命題2：設數列{

最後, 作者還想補充一個從Fibonacci 數列可能衍出的問題(最初將我引向這個問題的, 是河南大學的陳敏茹博士與學友楊凡)。眾所周知, Fibonacci 數列FnFn 前後兩項之比的極限恰好為黃金分割數(參見[13]), 即我們有：

所以, 我們也許會問：

命題2：對由一般的常係數線性遞推關係(13)所定義的數列{

林鳳美老師在發表於《數學傳播》2019年第4期的文章 [10] 中考慮了這一問題, 但遺憾的是, 其結果有瑕疵(原因在於, [10][p.103] 倒數第二行公式中

成立。然而, 若取初值

事實上, 問題2已蘊含於Pólya--Szegö[15][p.152] 的問題242, 而且那裡的結果更一般：

命題3：設冪級數

在常係數線性遞推關系所定義的數列的特殊情形, 命題3可以表述為以下形式：

定理5：設多項式P(z), Q(z)互素, P(z)的次數小於Q(z)的次數, 且 Q(0)≠0。設有理函數

若Q(z)的模長最小的根是唯一的, 記為

實際上, 無需藉助命題3, 從 (39)(39) 式不難推出定理5, 我們留給有興趣的讀者。

注意, 若 Q(z)最小模長的根不止一個, 那麼 (49)不一定成立。例如, 任取非零複數a, 對由

                                             1,a,1,a,…                                              (50)

構成的數列

注意, 當 a≠±1時, 這個有理函數的分子與分母互素, 而分母的兩個根模長相等。由前後兩項之比構成的數列為

它存在極限若且唯若

從另一種角度看, 等式 (49)意味著, 這給出了求多項式 Q(z)的最小模長零點(假定它唯一) 的一個近似方法, 這本質上就是線性代數中求矩陣的佔優特徵值與特徵向量(dominant eigenvalue and eigenvector) 的冪法(power method), 參見 [17] 6.2 節或 [4][p.81] 1.4 節問題7。

致謝

作者感謝高雄市中正高中張進安老師和《數學傳播》諸位編輯老師的鼓勵推動！感謝復旦大學邵美悅博士指正初稿的一處誤拼並指引文獻[17], 並建議我們改用生成函數而非母函數的稱謂。感謝審稿人對初稿提出寶貴建議。

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