「看三視圖畫直觀圖」的妙招

2021-02-08 數學知了

由幾何體的三視圖想像直觀圖是高考常考的知識點，而很多空間想像力弱的同學也常常失分．下面結合三視圖的形成過程來教大家一招破解之術.

1、三視圖的形成

首先在一個長方體中確立V 、 H 、 W 三個投影面，如下圖所示，將形體放置在其中，然後分別向三個投影面作正投影。


在三個投影面上作出形體的投影后，為了作圖和表示的方便，將這三個投影面展開攤平在一個平面上。

規定的展開方法是： V面保持不動，將H面和W面按圖中箭頭所指方向分別繞OX和OY軸旋轉，使 H面和W面均與V面處於同一平面內，即得如下圖所示的形體的三面投影圖。並規定：V面投影圖稱為主視圖；H面投影圖稱為俯視圖；W面投影圖稱為左視圖.

這就是形體的三視圖.

三視圖的投影規則是：主視、俯視長對正；主視、左視高平齊；俯視、左視寬相等.

從另一個角度說，幾何體的三視圖可以看成：把幾何體放置在一個長方體內，分別從前往後、從上往下、從左往右三個方向擠壓長方體所得.見GIF動畫演示 (建議Wi-Fi下觀看)

我們將擠壓長方體得幾何體三視圖的過程倒過來看，就容易看出由三視圖畫直觀圖的關鍵之處. 見GIF動畫演示 (建議Wi-Fi下觀看)

以上動畫告訴我們可以這麼做：先在長方體的下底面畫俯視圖 ，再看正視圖和側視圖，根據這兩個圖來確定俯視圖的哪幾個頂點可以沿著垂直於長方體底面的直線往上升?升多高(能否升到長方體的上底面)? 見GIF動畫演示(建議Wi-Fi下觀看)

看完上述內容，想必你已經有了「由三視圖畫直觀圖」的妙招了.


2、看三視圖畫直觀圖

這妙招就是由七步完成，下面結合例子，說說這妙招.

例1、幾何體的三視圖如下圖，畫出其直觀圖 選自武漢市重點中學2011-2012學年高一下學期期末統考數學試題第2題.

請認真看好七步妙招：

第1步：畫一個長方體.

第2步：在長方體的下底面畫俯視圖 (關鍵是畫俯視圖的頂點，你可以將頂點標上記號，比如畫上小圈圈).

第3步：看正視圖. 一般地，如果正視圖在長方體的下底面的那條邊上有直角，則這個直角頂點有可能往上升；如果沒有直角，則這個非直角頂點不可能往上升，常常把這些點化去；(你可以將正視圖中不能上升的頂點標上記號「\」)


第4步：看側視圖. 同樣，如果側視圖在長方體的下底面的那條邊上有直角，則這個直角頂點有可能往上升；如果沒有直角，則這個非直角頂點不可能往上升，常常把這些點化去；(同樣，不能上升的頂點標上記號「\」)

綜合第3步、第4步結果，再次判斷俯視圖的哪些頂點可以沿著垂直於長方體底面的直線往上升至長方體上底面，哪些頂點不能升至長方體上底面. 還可以確定長方體上、下底面的哪些頂點不可能是直觀圖的頂點(你可以將這些頂點標上記號「×」).

第5步：再看正視圖和側視圖，哪些頂點是直觀圖的頂點(可以將它們標上記號「√」).

第6步：將第5步確定的直觀圖頂點連接起來，得所需畫的直觀圖.

第7步：檢驗所畫直觀圖是否符合三視圖，不合則修正；符合則大功告成！

「七步妙招」可以概括為：畫長俯（指第1步畫長方體、第2步畫俯視圖），看正側（指第3步看正視圖、第4步看側視圖），定頂點（指第5步確定直觀圖頂點），連成圖（指第6步連直觀圖頂點、第7步成圖）.

例2、幾何體的三視圖如下圖，畫出其直觀圖  選自2016年高考全國新課標卷Ⅲ 理科9 (文科10)

運用「七步妙招」：

第1步 畫一個長方體（略去）；

「七步妙招」是不是很實用，快來練熟它.

練習1：根據幾何體的如下三視圖，畫出其直觀圖

（1）、

（2）、

練習2：近幾年全國高考卷題選

（1）(2017年全國新課標Ⅰ卷 理科T.7)．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.

該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為 


（2）（2016年全國新課標Ⅱ卷 理科T.6 文科T.7）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，

則該幾何體的表面積為 (     )


（3）（2015年全國新課標Ⅱ卷 理科 文科T.6）一個正方體被一個平面截去一部分後，剩餘部分的三視圖如右圖，


則截去部分體積與剩餘部分體積的比值為

（4）(2014年全國新課標Ⅰ卷理科T.12) 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，

則該多面體的各條稜中，最長的稜的長度為 


練習參考答案：

練習1（1）

練習1（2）

練習2（1）B；   （2）C； 

     （3）D；    提示：由三視圖得，在正方體A­BCD-A1­B1C1D1中，截去部分是四面體A-A1­B1D1，如圖所示，

 （4）C；   提示：三視圖對應的多面體為三稜錐A­BCD  (正方體的稜長為4)，


最後再回顧「七步妙招」口訣：畫長俯，看正側，定頂點，連成圖.


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