平方差公式的隱藏功能、公式變形以及靈活運用

2021-02-19 瀋陽奧數

點擊上方藍字（瀋陽奧數）可以關注。

平方差公式是數學裡最基礎的公式之一，小學的有理數，初中的無理數以及高中的複數都可以應用平方差公式。

a²-b²=(a+b)(a-b)
把(a+b)(a-b)的括號打開就可以化簡成a²-b²，或者用幾何等很多方法都可以證明。小學階段經常用在簡便運算：
2018²-2017²=(2018+2017)×(2018-2017)=4035
2020²-2019×2021=2020²-(2020-1)×(2020+1)=1

這些基礎的應用大家都比較熟悉，今天主要介紹平方差公式的一些靈活運用。
隱蔽的平方差，打破一下思維定勢，比如下面這道題題很難發現平方差公式
例題：2018×2019-2017×2020

這道題其實也可以用平方差公式來簡算，但是我們不容易想到變成小數的平方差。2018與2019，2017與2020的平均數都是2018.5，所以：

2018×2019=(2018.5-0.5)×(2018.5+0.5)
2017×2020=(2018.5-1.5)×(2018.5+1.5)
原式=1.5²-0.5²=(1.5+0.5)×(1.5-0.5)=2

平方差公式的變形
a²=(a+b)(a-b)+ b²
我們利用它的變形公式可以心算一些數的平方
997×997=(997+3)×(997-3)+3×3=994009
其中a=997，b=3，通過這種變化，我們就可以簡算或心算。
1011×1011=(1011-11)×(1011+11)+11×11=1022121

平方差公式的靈活運用

由於平方差公式裡有平方，所以經常結合與平方有關的知識點進行考察：正方形面積，完全平方數等等。
例題1：一個大正方形紙片，從正中間剪下一個小正方形後，剩下的面積是71，已知大，小正方形的邊長恰好都是整數，那麼小正方形的面積是多少。

解析：設大小正方形邊長為x，y

則有x²-y²=(x+y)(x-y)。

由於71是質數，所以只能分解成71×1。

x+y=71；x-y=1 解得y=35，所以答案是1225.

例題2：一個自然數減去45後是一個完全平方數，這個自然數加上44也是一個完全平方數，那麼這個自然數是多少。

提示：和例題1類似，可以自己做一下。

非常感謝大家的 轉發與 在看

往期精彩：育才少兒班專輯

相關焦點

  • 平方差公式的靈活運用,以及拓展公式
    平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²根據多項式乘法法則，去掉括號即可得到：(a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b²其中a和b可以是任意實數(正數，負數，零)，也可以是整式。(9.42+8.42)×(9.42-8.42) = 17.84平方差公式的變形a²=(a+b)(a-b)+b²例題2：心算997²雖然可以利用完全平方公式：997²=(1000-3)² = 1000²-2×3×1000+3²但是運算過程中有減法，所以心算比較費勁。
  • 平方差公式(一)
    平方差公式是初中階段的一個常用公式，在整式乘法，因式分解，簡便運算等題目中經常涉及，考察重點在於平方差公式在計算當中的運用。
  • 《平方差公式》教學設計
    3．情感目標：讓學生經歷「特殊到一般再到特殊」（即：特例─歸納─猜想─驗證─用數學符號表示—解決問題）這一數學活動過程，積累數學活動的經驗，體會數學的簡潔美和數形結合的思想方法．培養他們合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的意識．通過幾方面的合力，提高學生歸納概括、邏輯推理等核心素養水平．
  • 初中數學,幫你徹底擺脫不會靈活使用完全平方、平方差公式的煩惱
    多年的教學經驗表明，很多初中學生，特別是初一學生，對完全平方公式和平方差公式接觸不久，遇到考察這兩個公式的靈活應用題型時，根本不知道如何下手去做，希望這節課可以幫助這些學生。平方差公式和完全平方公式及它們的變形公式，這些公式不要死記硬背，試著在理解的基礎上進行記憶，自己學著推導，多使用幾次，加深理解，自然可以達到靈活應用，融會貫通。這節課講解平方差公式和完全平方公式變形公式更深入的應用。
  • 中考數學重點考查內容——如何運用平方差公式分解因式
    上篇文章小編介紹了提取公因式法分解因式以及需要注意的一些細節，在進入今天主題前我們先來複習之前的內容，請看下圖中的三道題目：當然了，你只要在前面認真學習了，這三題的答案非常簡單：（1）把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫分解因式）；
  • 初中數學公式:平方差公式
    中考網整理了關於初中數學公式：平方差公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　表達式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，兩個數的和與這兩個數差的積，等於這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式 　　公式運用 　　可用於某些分母含有根號的分式： 　　1/（3-4倍根號2）化簡： 　　1×（3+4倍根號2）/（3-4倍根號2)^2；=(3+4倍根號2)/(9-32)=(3+4倍根號
  • 平方差公式(第一課時)教學設計
    ，發展符號感和推理能力，提高觀察、歸納、概括等能力；                2.會利用多項式的乘法法則推導平方差公式，理解平方差公式的幾何驗證；              3.能運用平方差公式進行簡單的運算.
  • 正確運用平方差公式因式分解,做這幾個題就可以了
    正確運用平方差公式因式分解，總結給暑假想查缺補漏的你學習是一種持續不斷的行為，很多同學覺得暑假來了，我們就不用再學習，這種想法是錯誤的。俗話說：「活到老，學到老」。因式分解常用到的兩種方法是提公因式和公式法，公式法包括有兩種，一種是平方差公式，另一種是完全平方公式。這節課我們就來複習一下用平方差公式總結給暑假想複習的你。首先大家知道平方差公式是什麼？把公式倒過來就是因式分解，如下圖。
  • 2018初中數學公式之平方差公式的運用
    下面是《2018初中數學公式之平方差公式的運用》，僅供參考！
  • 北師大版七下冊數學1.5《平方差公式》知識點精講
    抓住公式的幾個變形形式利於理解公式。23注意事項：（1）有公因式（包括負號）則先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式是互逆關係；（3）平方差公式中的a與b既可以是單項式，又可以是多項式；第一關：直接運用公式1.
  • 初中數學,二次根式,巧用平方差公式化簡計算求值
    平方差公式(a＋b)(a－b)＝a－b的結果是兩個平方相減，而一個根號加上平方後是一個有理數，例如，根號2的平方等於2，所以平方差公式在實數二次根式運算中可以起到去除根號的作用，同時可以大大簡化運算過程，下面通過3道例題來體會平方差公式在二次根式中的靈活應用。
  • 中考數學一輪複習,基礎知識過關訓練七,完全平方與平方差公式
    公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍。常見變形公式：★添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號裡的各項都不改變符號；如果括號前面的是負號，括到括號裡的各項都改變符號。
  • 初二數學整式的乘法,掌握乘法公式結構特徵是關鍵,運用有技巧
    而後面學習的乘法公式這部分，則相對於前面的難度有所增加，主要是需要找尋對應的乘法公式的結構特徵，在給定的式子中找出規律，然後就行作答。因此掌握乘法公式結構特徵是關鍵，而在運用中也是有技巧的。在乘法公式中，主要有兩個公式，分別是平方差公式和完全平方公式，平方差公式是兩個數的和與這兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差。
  • 2020年中考數學考點之利用平方差公式進行因式分解習題練習
    2020年中考數學必考考點之平方差公式與因式分解習題練習這次課程我們來為大家講一下平方差公式相關的習題，教你在實踐中快速準確地應用平方差公式進行因式分解。本次課程結束後，我們還會為大家布置相關的習題，希望家長認真監督孩子完成本次的作業。
  • 小知識之正弦平方差公式的應用
    刷題時遇到一個與正弦平方差有關的三角函數題目，這個公式在三角函數化簡中並不常用，既然看到了此類問題，就簡要地做一次介紹。公式形式和平方差公式類似，也很好記，既然有正弦平方差公式就有餘弦平方差公式，但餘弦平方差公式在形式上並不一致，因此只需知道如何證明即可，正餘弦平方差公式以及各自的證明過程如下：刷到的一個與正弦平方差公式有關的題目如下：有人曾經問過一個這樣的問題
  • 初一下學期,如何熟練運用乘法公式進行計算,這幾個方面需要掌握
    乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，很多同學學習完這兩個公式後不知道如何使用。或者說，簡單的套用公式會，但是稍作變形或者題目變複雜後就不會使用了。那麼，如何熟練地運用乘法公式進行計算呢？這幾個方面需要牢牢掌握。
  • 乘法公式——狼與羊的故事
    學習目標分解:理解乘法公式的推導過程和結構特徵；掌握添括號法則，會利用乘法公式進行簡便運算；整式的乘除法運算法則及其實際應用；乘法公式的變形及其靈活應用；首先我們需要了解和掌握平方差公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2 （a為完全相同的一項
  • 七年級下冊數學,乘法公式的應用,提高靈活應用能力!
    數學來源於生活，乘法公式在生活中有著廣泛應用。本次課的學習方向是掌握每一個乘法公式的結構特徵及公式的含義；會正確地運用這些公式，感悟換元變換的思想方法，提高靈活應用乘法公式的能力。平方差公式和完全平方公式都可以對多項式與多項式的乘法進行簡便運算。平方差公式的左邊是含有兩個括號的多項式，右邊是兩項，而完全平方公式左邊是一個兩項式的平方，右邊是三項。
  • 靈活應用乘法公式
    學習方法完全平方公式一、 公式特徵：1.
  • 平方差公式的練習題
    下面是平方差公式的相應練習題。有興趣的同學可以做一做。①心算9985²=           978²  =           ②計算1.23²×25-(-3.05)²×9(2a+3b)(2a-3b)(4a²+9b²)③已知a-b=-1.5，求a²-b²+3b的值。