在上一篇文中，學習了函數與函數極限，其中有講到函數的四種特性：奇偶性，單調性，周期性和有界性。
今天來學習函數的另一個重要概念--連續性。直觀的表現是其函數圖像在某點的鄰域有定義，圖像不斷開。我們之前學的基本初等函數都是連續函數。
第1節，講的連續的概念，和連續函數的概念：
函數的點x0連續的定義：lim f(x)=f(x0） x->x0 ，這是使用了函數極限來描述函數的點連續，這也是安排本節在函數極限之後的原因。當然，也可以改為使用增量配合ε-σ的描述法：Δy = f(x)-f(x0）;lim Δy= 0 Δx->0函數的點連續分為左連續與右連續當連續點組成連續區間時，函數就存在區間連續，函數區間連續細分為開區間連續，閉區間連續，半開半閉區間連續
根據矛盾成對出現原則，有連續就會有間斷
第2節，講的就是函數間斷的概念：
函數的間斷點：就是函數不連續的點，可以分為：第一類間斷點：包括可去間斷點和跳躍間斷點，這類間斷點特徵是函數在該點的左右極限都存在第二類間斷點：在間斷點x0中，lim f(x) x->x0- 與 lim f(x) x->x0+ 至少有一個不存在，即點的左極限與右極限至少有一個不存在間斷點定理：若f(x)在去區間（a,b)內單調，且x0∈(a,b)是f(x)的間斷點，則x0必是跳躍間斷點
第3節，講連續函數的局部性質：從函數極限的性質可以推出連續函數的局部性質
局部有界性保不等式性局部保號性滿足四則運算條件的四則運算法則（加減乘除）複合函數的極限定理：limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0) =f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0複合函數的連續性，既然複合函數存在極限定理，同理也就可以利用複合函數的極限來描述複合函數的連續性。
特別地，談談基本初等函數的連續性：之所以稱他們為基本初等函數，是因為他們都具有多數的函數的典型特性
反函數連續定理：若函數在閉區間嚴格單調且連續，則其反函數在其定義域上連續定理：所有基本初等函數都在其定義域內連續定理：一切初等函數都在其定義區間上連續
函數的連續性很重要，因為可以用來求極限，還與後續的微分關係很大
第4節，講函數的整體性質：
有界性定理：函數在閉區間連續，則在此區間有界。該定理關聯了函數的有界性和連續性。特別注意必須是閉區間最值的概念：分為最大值和最小值，很容易理解的概念，不過多解釋最值定理：函數在閉區間連續，則函數在此區間有最值（最大與最小）。也是只對閉區間成立零點定理：若f(x)在[a,b]上連續，且f(a).f(b)<0，則存在x0屬於[a,b]，使得f(x0)=0，即方程f(x）=0在(a,b)內至少有一個根介值定理：若f(x)在[a,b]上連續，且f(a)≠f(b)，u是介於f(a)，f(b)的任何實數，則存在x0屬於(a,b)，使得f(x0)=u連續性推論：若函數在區間上連續，且不是常值函數，則函數的值域是一個區間一致性連續：是指函數在區間上每一點都連續。因為函數的連續性是函數的局部性質，是點態的。刻畫一致連續：設f(x)在區間I上有定義，若對任意ε>0，存在σ=σ(ε)>0，使得對任何x1,x2∈I ，只要|x1-x2|<σ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε ，那麼就說f(x)在I上一致連續函數的一致連續使得函數的連續性從點態變為了區間態，這種加強了條件的連續，帶來了新的性質：1）若 f(x) ,g(x)都在區間I上一致連續，那麼f(x)±g(x)也在I上一致連續2）若f(x)在區間I上一致連續，J是I的子區間，那麼f(x)在J上一致連續3）一致連續性定理：若函數在閉區間上連續，則函數在該區間一致連續。該定理通過閉區間條件，溝通了連續與一致連續