2020中考真題精選之四：利用函數解析式通過分類討論求最值

各位朋友，大家好！今天是2020年8月12日星期三，數學世界繼續為大家分享2020年各地的數學中考真題，今天我們來看一道2020年十堰數學中考題，希望能夠對大家的學習有一些幫助！如果你是來到這裡的新朋友，請翻看以前的文章，希望能夠大家能夠喜歡。

例題：（2020·十堰中考數學試題）某企業接到生產一批設備的訂單，要求不超過12天完成．這種設備的出廠價為1200元/臺，該企業第一天生產22臺設備，第二天開始，每天比前一天多生產2臺．若干天后，每臺設備的生產成本將會增加，設第x天（x為整數）的生產成本為m（元/臺），m與x的關係如圖所示．

（1）若第x天可以生產這種設備y臺，則y與x的函數關係式為（ ），x的取值範圍為（ ）；

（2）第幾天時，該企業當天的銷售利潤最大？最大利潤為多少？

（3）求當天銷售利潤低於10800元的天數．

這道題有3個小題，第1個小題比較簡單，後面2個小題有一定難度，解題時要根據實際問題進行思考。我們在做這道題時，要有效利用題中的已知條件，推出有用的條件，再結合要求的問題進行思考。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：（1）根據題意列出y與x之間的關係式並化間，即可確定一次函數的解析式，但要注意在實際問題中x的取值範圍要使問題有意義；

（2）要求銷售利潤的最大值，很明顯要通過求函數最值來解決，可以求出當天利潤與天數的函數解析式，再求出其最大值即可；

（3）根據（2）中的當天利潤與天數的函數解析式，分情況列出不等式求出天數的範圍即可解答。下面，我們按照以上思路解答此題吧！

解答：（1）根據題意，得

y與x的解析式為：

y=22+2（x-1）=2x+20（1≤x≤12），

故題中空處應分別填入：

y=2x+20，1≤x≤12；

（2）設該企業當天的銷售利潤為w元，

根據題意，則

當1≤x≤6時，

w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000，

∵800＞0，

∴w隨x的增大而增大，

∴當x=6時，w最大值=800×6+8000=12800．

當6＜x≤12時，

設m與x的關係式為m=kx+b，

將（6，800）和（10，1000）代入，得：

800＝6k+b

1000＝10k+b，

解得：

k＝50

b＝500，

∴m與x的關係式為：m=50x+500，

∴w=[1200-（50x+500）]×（2x+20）

=-100x^2+400x+14000

=-100（x-2）^2+14400．

∵-100＜0，

∴此時圖象開口向下，在對稱軸右側，w隨x的增大而減小，

∵天數x為整數，

∴當x=7時，w有最大值為11900元，

∵12800＞11900，

∴當x=6時，w最大，且最大值為12800元

答：該廠第6天獲得的利潤最大，最大利潤是12800元．

（3）由（2）可得，

當1≤x≤6時，800x+8000＜10800，

解得：x＜3.5

則第1-3天的當天利潤低於10800元，

當6＜x≤12時，-100（x-2）^2+14400＜10800，

解得x＜-4（捨去），或x＞8，

∴第9-12天的當天利潤低於10800元，

綜上，當天銷售利潤低於10800元的天數有7天．

（完畢）

這道題主要考查了一次函數和二次函數的應用，解題的關鍵在於理解題意、利用待定係數法確定函數的解析式，並根據實際問題進行分類討論。解題的關鍵是理清題中的數量關係，並正確運用函數的相關性質。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！