一線三垂直模型構造全等三角形

2021-03-01 初中數學解題思路

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一線三垂直模型構造全等三角形

一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點旋轉90º，或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線，構造全等三角形形或相似三角形，建立數量關係使問題得到解決。過等腰直角三角形的直角頂點或者正方形直角頂點的一條直線.過等腰直角三角形的另外兩個頂點作該直線的垂線段，會有兩個三角形全等（AAS）.

常見的兩種圖形：

【典型例題1】

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，設∠BCD=α，以D為旋轉中心，將腰DC繞點D逆時針旋轉90°至DE.

當0°＜α＜90°，猜想△EAD的面積與α大小有無關係，若有關，寫出△EAD的面積S與α的關係式，若無關，請證明結論.

【答案解析】

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

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∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面積與α無關

如圖，向△ABC的外側作正方形ABDE,正方形ACFG，過A作AH⊥BC於H，AH的反向延長線與EG交於點P，求證：BC=2AP

【答案解析】

過點G作GM⊥AP於點M,過點E作EN⊥AP交AP的延長線於點N

∵四邊形ACFG是正方形.

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∴AC=AG,∠CAG=90°

∴∠CAH+∠ACH=90°

∴∠ACH=∠GAM

在△ACH和△GAM中

∠AHC=∠GMA

∠ACH=∠GAM

AC=GA

∴△ACH≌△GAM

∴CH=AM,AH=GM

同理可證△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP

∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

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