「倍數與因數」作為小學數學學習的重要知識點之一，掌握好該部分內容有利於加深學生對整數乘法的理解。基礎知識相信同學們都已經掌握得差不多了，今天老師要重點說的就是「倍數與因數的應用」，希望能啟發同學們了解更多該部分內容的解題思路。
（註：「倍數與因數」為北師大版五年級數學上冊第三單元內容，該章節出現在人教版五年級下冊第二單元）
主要知識點
1、倍數與因數是相互依存的關係，在描述時一定要說清誰是誰的倍數，誰是誰的因數。
2、一個數的倍數的個數是無限的。因數個數是有限的。一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
3、特殊數的倍數特徵
（1）2的倍數的特徵：個位上是0，2，4，6,8的數是2的倍數。
（2）5的倍數的特徵：個位上是0或5的數是5的倍數。
（3）既是2的倍數，又是5的倍數的特徵：個位上是0的數既是2的倍數，又是5的倍數。
（4）3的倍數的特徵：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
（5）同時是2和3的倍數的特徵：個位上的數是0, 2，4,6，8，並且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是2的倍數，又是3的倍數。
（6）同時是3和5的倍數的特徵：個位上的數是0或5，並且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是3的倍數，又是5的倍數。
（7）同時是2，3和5的倍數的特徵：個位上的數是0，並且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是2和5的倍數，又是3的倍數。
（8）6的倍數的特徵：既是2的倍數又是3的倍數的數。
（9）9的倍數的特徵：一個數各個數位上的數字的和是9的倍數，這個數就是9的倍數。
4、偶數和奇數：是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。
5、找因數
可運用乘法算式，找出1~100的自然數中，某個自然數的所有因數。
【補充】一個數的因數的個數是有限的。其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。
6、找質數
質數與合數：一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數。一個數除了1和它本身以外還有別的因數，這個數叫做合數。1既不是質數也不是合數。
判斷一個數是質數還是合數的方法：
【解題思路】一般來說，首先可以用「2，5，3的倍數的特徵」判斷這個數是否有因數2，5，3；如果還無法判斷，則可以用7，11等比較小的質數去試除，看有沒有因數7，11等。只要找到一個1和它本身以外的因數，就能肯定這個數是合數。如果除了1和它本身找不到其他因數，這個數就是質數。
7、數的奇偶性規律
偶數+偶數=偶數；奇數+奇數=偶數
偶數+奇數=奇數；偶數－偶數=偶數
奇數－奇數=偶數；偶數－奇數=奇數
奇數－偶數=奇數；偶數×偶數=偶數
偶數×奇數=偶數；奇數×奇數=奇數
常見題型
題型一：找最大公因數（短除法）
【例題】A=2×2×2×2×3，B=2×2×3×3×3，A和B的最大公因數是（ ）。
【解析】A=2×2×2×2×3，B=2×2×3×3×3，那麼最大公因數是2×2×3=12。
【答案】12
題型二：圖形的分割
【例題】一張長方形的紙，長7分米5釐米，寬6分米。現在要把它裁成一塊塊的正方形，而且正方形的邊長為整釐米數，而且裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？
【解析】長7分米5釐米，寬6分米，即長75釐米，寬60釐米。75和60的最大公因數是15，所以可以裁成15的因數1、3、5、15四種。最大的正方形的邊長為15釐米。
【答案】
7分米5釐米=75釐米
6分米=60釐米
（75，60）=15
75÷15=5
60÷15=4
4×5=20（塊）
答：可以裁20塊。
題型三：最大公因數在實際問題中的應用
【例題】五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動，要把他們分成人數相等的小組，但各班同學不能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？
【解析】要把24人，36人、42人分成人數相等的小組，即小組的人數是24、36、42的公因數，求每組最多有多少人，就是求24、36、42的最大公因數，求出最大公因數後，用每班的人數除以最大公因數就是各班可以分的組數。
【答案】
24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
42=2×3×7
所以24、36、42的最大公因數是2×3=6。
24÷6=4（組）
36÷6=6（組）
42÷6=7（組）
答：每組最多有6人，五年級三個班分別可以分為4組、6組、7組。
題型四：最小公倍數在實際問題中的應用
類型一：周期相遇問題
【例題】甲乙丙三人是朋友，他們每隔不同的天數去圖書館一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們三人恰好在圖書館相遇，問至少再過多少天他們三人又在圖書館相會？
【解析】3、4、5的最小公倍數是3×4×5＝60，所以，最少再過60天三人在圖書館相遇。
【答案】
（3，4，5）=60
答：至少再過60天他們三人又在圖書館相會。
類型二：最小公倍數中的餘數問題
【例題】有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，這批樹苗數在150-200之間，求共有多少棵樹苗？
【解析】設共有x棵樹苗，那麼x+2就能同時被9，10，12整除，因為：9=3×3，10=2×5，12=2×2×3，則9、10、12的公倍數為：2×2×3×3×5=180，在150～200之間180的倍數是180。則有：x+2=180，n=178。
【答案】
（9，10，12）=180
由題意可知，150-200之間180的倍數只有180。且「9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵」，因此180-2=178（棵）
答：共有178棵樹苗。
拓展延伸
1、兩個質數的和是99，這兩個質數的乘積是多少？
【解析】奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。兩個質數的和是奇數，所以，一定有一個質數是偶數，偶數中只有2是質數。
解：99=2+97
97×2=194
答：這兩個質數的乘積是194。
2、兩個自然數的和與差的積是41，那麼這兩個自然數的積是多少？
【解析】首先注意到41是質數，兩個自然數的和與差的積是41，可見它們的差是1，這是兩個連續的自然數，大數是21，小數是20。
解：這兩個自然數的積是20×21=420。
答：這兩個自然數的積是420。
3、在1-100中，因數的個數是奇數的數有哪些數？因數的個數是偶數的有多少個？
【解析】我們知道，一個數的因數個數都是成對出現的，但是，有些數的因數對是相同的，所以，它們的因數個數就是奇數個。
解：100以內（包括100）因數個數是奇數的有：1、 4、9、16、 25、36、49、64、81、100共10個， 因數個數是偶數的一共有100-10=90(個)。
4、四個連續偶數的乘積是5760，求這四個數各是多少？
【解析】根據已知條件必須將5760分解質因數後，重新組合四個連續偶數。
解：5760=2×2×2×2×2×2×2×3×3×5
答：這四個連續偶數是6、8、10、12。
5、用某數去除47、61、75， 結果都有餘數5，問這個數最大是多少?
【解析】根據題意可知47÷a=X……5，61÷a=Y……5，75 ÷a=Z……5。用75－47=28，相當於把餘數5消去了，就剩下幾個除數，再用61－47=14，最後求28和14的最大公因數。
解：75－47=28
61－47=14
（28，14）=14
答：這個數最大是14。
6、甲數是32，甲乙兩數的最小公倍數是224，最大公因數是8，求乙數。
【解析】由於兩個數的最大公因數和最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積，所以求乙數就用最大公因數乘最小公倍數再除以甲數。
解：224×8 ÷32=56
答：乙數是56。
7、三個連續的偶數和是96，這三個數分別是多少？
【解析】連續偶數之間相差2，如果設中間的數是a，則另外兩個數分別是（a－2），（a+2），
可以看出中間的數是它們的平均數。
解：96÷3=32
32+2=34
32－2=30
答：這三個數分別是30、32、34。
8、求2430和1686 的最大公因數。
【解析】我們發現這個數比較大，用短除法求最大公因數不容易找出它們的公因數，我們可以掌握另一種求最大公因數的方法——輾轉相除法。
解：2430=1686×1+744
1686=744×2+ 198
744=198×3+150
198=150×1+48
150=48×3+6
48=6×8
（2430，1686）=6
答：2430和1686的最大公因數是6。
9、一次會餐，每兩個人合用一隻飯碗，三個人合用一隻菜碗，四個人合用一隻湯碗，會餐共用65隻碗。問參加會餐的有多少人？
【解析】會餐的人數應該是2、3、4的倍數，就是先求2、3、4的最小公倍數，（2，3，4） =12，看看12個人裡面可以用幾隻飯碗，幾隻菜碗，幾隻湯碗，再用總碗數除以每12 個人所用的碗數，得到的數就是有多少個12 個人用餐。
解：（2，3，4） =12
12÷2=6
6+4+3=13
12÷3=4
65÷13=5
12÷4=3
12×5=60（人）
答：參加會餐的共有60人。
10、學校買來72隻桶，共交了口67.9口元錢，（口內的數字辨認不清）請你算出每隻桶要用多少元？
【解析】我們可以把口67.9口元看成口679口分，因為是72個桶的總價，所以，這個數一定能被72 整除，72= 8×9，可以根據能被8和9整除的特徵求出各口的數。
解：被8整除的特徵是末三位數字之和是8的倍數。所以，79口的口內應填2。又知口+6+7+9+2=24+口能被9整除，因此前面口內應填3。那麼72 只桶總價錢是367.92元，367.92÷72=5.11（元）
答：每隻桶要用5.11元
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