基於特徵和模式驅動的解題策略(原創)

道之為物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象；恍兮惚兮，其中有物；窈兮冥兮，其中有精。其精甚真，其中有信。<<道德經>>第二十一章

正如道德經中所言，萬事萬物都含有信息，數學題中蘊含的特徵信息和模式信息是探索解題突破口和解題思路的重要線索和敲門磚，也是解題暗示，就像無言的解題嚮導。如果我們有敏銳的特徵信息意識，能心領神會地懂它，就能利用它指引我們的解題方向和思路，啟發我們的解題思維。如果忽視浪費它們，不去好好利用或沒有深入挖掘題目中隱藏的特徵信息，那就可惜了，正可謂：落花有意流水無情；我本將心向明月，奈何明月照溝渠。

識別和挖掘題目中顯性的特徵信息和隱藏的特徵信息之後，抓住這些信息，像庖丁解牛一樣因勢利導，利用好這些特徵，同化、順應這些信息來展開解題思維活動(例如聯想、類比、轉化、抽象、數形結合、歸納、構造、變換、改造、合情合理猜想、直覺靈感、實驗試探等思維活動)，優化解題思路，高效地找到解題方法，這就是基於(面向)特徵和模式識別驅動的解題策略。

基於特徵和模式識別驅動的解題策略是數學解題思維方法論中主要的也是非常重要的解題策略。為何叫驅動？驅動就好比汽車的發動機(引擎)，引擎同時也是引子，導火線。沒有引擎，汽車加滿油也是死的，不會動，要靠引擎這個轉化器將油的化學能轉換成動能。我們學的數學知識也是如此，是死的，沒有智能的，沒有數學思維這個智能引擎去驅動它們，去激發它們，去組織指揮它們，去編排它們，碰到難題，再多的知識難以高效地找到解題方法，也就是難以轉化成解題能力。每道題的解題方法，就是在思維的驅動下，綜合所學的知識和經驗而產生的。母產子，思維方法是解題方法之母，不知母焉知子，真正領悟數學思維之道和解題思維之道是學習數學的主要目的。

特徵分類

根據不同的標準和維度，數學題中的特徵可有多種分類。

• 按照特徵內容，可分為：數值特徵、結構特徵、形式特徵、圖形圖像特徵、題型特徵、位置特 徵、關係特徵、範圍特徵、性質特徵、規律特徵、過程特徵、角色特徵。
• 按照特徵所在的對象類型，可分為：條件(題設)特徵、結論特徵、中間對象特徵(解題過程中的中間對象特徵)；
• 按照表述形式，可分為:文字特徵和(數學)符號特徵。
• 按照特徵的範圍和特徵所屬對象的粒度，可分為：整體特徵和局部特徵；
• 按照觀察方向，可分為：橫向特徵和縱向特徵；
• 按照層次深度可分為：表象特徵和內在本質特徵；
• 按照普遍性，可分為：共性特徵和個性(差異)特徵；
• 按照特徵的易見性，可分為：顯式特徵和隱式特徵；
• 按照特徵是否導致解題阻礙，可分為：正面(良性)特徵和負面特徵。正面特徵就是解題者認為有利於解題的特徵，一般要因勢利導地順應它。負面特徵可能客觀上或大多數人主觀認為它是負面的，不利於解題，它製造矛盾和解題障礙，增加解題難度。對負面特徵一般要進行同化，例如進行改造、變換或轉化，例如代數式變形、換元、幾何變換、添加輔助線；
• 按照地位，可分為：主體特徵和輔助特徵(約束限制性質的特徵);
• 還可以分為：抽象特徵和具體特徵、一般特徵和特殊特徵；

根據數學模式思想， 很多特徵例如關係特徵和結構特徵等也可認為是模式，這也是本文把基於特徵和模式驅動的解題策略合併在一起的原因。

如何發現識別特徵信息？

有些特徵信息是很明顯的識別的，已知的，這就是顯性的特徵信息，還有一些是隱含的，要掘地三尺，這就需要良好的洞察力，有條理、有目的、系統全面地、敏銳地、正確地觀察，結合經驗、直覺、比較、計算 、判斷、推理來發現題目中蘊含的特徵信息。

運用闡述

這裡用兩道數學題來闡述如何運用基於特徵和模式驅動的解題策略。

第一題

高中數學題，求絕對值最小值。

圖1

先自己思考一下。

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一題多解，基於發現的特徵信息進行發散思維，主要是聯想思維和比較思維，聯想是一條紐帶，牽引引領我們的思維活動，從題目特徵聯想到所學的知識和經驗，得到5種解題方法。

這道題，運用辯證法的矛盾分析法分析可知，條件特徵：已知條件代數式是二次。結論特徵：一次代數式，絕對值。

運用比較思維比較一下條件和結論，它們存在二次與一次的差異或不一致，這個差異就是辯證法中的矛盾。此題中的這個矛盾不便於我們解題，絕對值也是如此，絕對值通常來講不好處理，這是常識。這些都是負面特徵或負面因素，它們是命題人故意用來增加題目難度的，故意製造矛盾是出難題的方法之一。根據辯證法的矛盾觀，要想辦法轉化、改造、消除這些矛盾，用數學思維的術語來講就是要同化這些負面特徵或負面因素，不能由它們亂來，也就是不能順應這些負面特徵。如何同化改造？考慮結論中的一次向條件中的二次對齊靠近，很容易想到對結論中的一次絕對值代數式進行平方即可，這樣就變成二次式，和條件的次數沒有差異了。

圖2

圖3

圖4

題後總結與反思

可見如果熟悉反向柯西不等式這個知識(定理)，抓住特徵進行聯想，方法1是最快的。 思維能力和知識要並重，漁(思維能力)和魚(知識、經驗、低層次方法)都要有，這題如果不事先熟悉反向柯西不等式定理，巧婦難為無米之炊，即便你思維能力再好，也難以一下子很快發現這個不知道的定理，也就難以一下子就想到方法1，當然方法1也運用了比較思維找出差異，再拼湊或進行變形轉化，補齊差異的部分。但更多時候，我們是掌握了很多知識，但沒有領悟思維方法論或者說思維之道，不會思考，導致不會探索解題突破口，想不到如何編排、如何組織、如何調動大腦知識庫中存儲的眾多知識。

第二題

初中幾何題，如下圖5，求角度。

圖5

可以試著思考一下。

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這題的關鍵是要挖掘出題目蘊含的數值特徵和關係特徵。

數值特徵和關係特徵很容易理解，例如看到36，顯然具有完全平方數特徵；見到三個數3、4、5，很顯然具有連續整數特徵、等差數列特徵、勾股數特徵、互質特徵。數值特徵中的數值不一定都是具體的數字，也可以是變量或代數式，例如x、y。

這題的圖形特徵就是三角形， 它是顯性的，也就是一看便知的，但單憑這個特徵無法破題。要藉助題中蘊含的隱藏特徵信息。

這題中隱含的特徵有哪些？怎樣特徵驅動思維過程？看圖6的解題思維過程。

圖6

求得：角C=22度，順便可知角DAC=90度。

題後總結與反思

有難度的幾何題，一般是由於它在對象數量、(位置、數量)關係、結構上存在問題，和我們掌握的數學知識、幾何模型、經驗難以匹配上，差異較大，也就難以用上它們或者我們難以從中發現用於解題的必要的重要的特徵信息和條件，主要表現為：

• 幾何結構不協調，幾何對象之間在位置關係上不咬弦，例如幾何對象東倒西歪（這裡的東倒西歪是形容詞，形容幾何對象的位置關係混亂，和我們掌握的幾何模型差異較大，並不一定是本意）；
• 幾何結構殘缺不全；
• 幾何結構生長青澀或生澀；
• 幾何對象數量過多,例如多個圓，多條線段；
• 幾何結構中隱含有難以發現的位置關係特徵或特徵幾何對象、特徵結構模型。
• 幾何對象的度量屬性(長度、角度、面積等)在數量關係上比較隱晦或複雜。

看到幾何題，在審題基礎上先整體觀察一下幾何圖形，感覺一下整個幾何結構。

這道題就是由於兩個角度對象(44度和24度)之間的數量關係比較隱晦，如果疏忽大意或缺少數感，就難以發現隱藏的數量關係：(180-44)/2=44+24=68。這個數量關係就是特徵信息，缺少這個必要的特徵信息來啟發我們，我們難以破題。

上面的一些問題就是辯證法中的矛盾或負面特徵、負面因素，我們要想辦法改造、轉化、消除它們。具體如何改造、轉化、消除它們，要有一套解題思維方法論。

幾何題一般都涉及到輔助線、幾何變換(旋轉、平移、對稱等)，除非是簡單幾何題。如何添加輔助線？如何進行幾何變換？為何要這樣添加或為何這樣變換？是怎麼想到這樣添加和變換的？很多人認為是一個難點或令人困惑的問題，好像是神來之筆，沒有理性&邏輯性可言，也就是沒有線索和依據。

其實很多時候不是這樣，它們背後是有一定的線索和依據的，是有一定的邏輯的，是有一套思維方法在裡面的。只不過大多數的數學教學和數學書籍中都是如何添加輔助線的經驗、題型、口訣、訣竅、套路，例如碰到中線時要倍長中線。這些是低級低層次的口訣、套路，但沒有把套路背後的&34;講清楚，學生知其然而不知其所以然，不知曉其中的&34;,更不知曉更本質更高層的解題思維之道，碰到稍微難些的題當然就覺得難。不排斥低級方法、套路和口訣，要掌握它們，但完全機械化地訓練這種低級套路，缺少靈活性，養成只會照貓畫虎地依賴或只想依賴套用低級套路的習慣，沒有掌握解題思維方法論，也就是解題思維之道，這是誤人子弟。

添加輔助線或進行幾何變換，是運用解題思維方法論的產出，有些所謂的幾何難題不一定要輔助線或幾何變換。

對這道題的輔助線，在大腦知識庫中遍歷搜索過濾一遍輔助線口訣套路，在解題開始階段感覺沒有低級的輔助線套路和經驗可以依賴，無從入手。

怎麼破題，怎麼找到解題突破口？既然低層次、低級的輔助線套路解決不了問題，此時就要有破局思維和打破思維定勢的意識，不能一直陷在低層次的思維中不能自拔，要上升思維層次，搬出解題的終極武器，也就是解題思維方法論。

這道題，我們從解題思維方法論這個具有靈性智慧的工具箱中搬出特徵驅動的解題策略來破題，探索尋找解題突破口。

遵照特徵驅動策略的指引，挖掘特徵信息，敏銳地發現兩個已知角度的數值特徵和關係特徵：(180-44)/2=68=44+24，從心理上已經可以感覺這些特徵應該是一個解題線索，看到了破題的曙光，要利用好這個線索來破題。

特徵驅動，順藤摸瓜，進一步驅動和展開我們的思維，由180、(180-44)/2很容易很自然地聯想到三角形的知識和構造模型的操作:三角形內角和為180度、頂角為44度的等腰三角形，(180-44)/2是等腰中的相等角。思維決定行動，接下來很自然地想到作出輔助線AE，構造出等腰三角形ABE，同時三角形ADE也是頂角為44度的等腰，等腰就是圖形特徵。像滾雪球一樣，繼續觀察，繼續識別圖形特徵，根據角DAE=角ABD=44度，可以迅速識別出隱含的其他圖形特徵：切線圖形模型或者相似特徵：AE是三角形ABD外接圓切線、三角形ABE和ADE相似。此時從心理上已經覺得離完整解決它又邁近了一大步。

題目中的1/2，它是麻煩製造者，是不協調的因素，增加了處理難度。根據辯證法的矛盾分析法，需要想法消除它，轉化它。抓住三角形ADE的等腰特徵，根據等腰特徵，很自然地，非常合情合理地就聯想到作高AF，這個就是根據等腰三角形的性質特徵：等腰三角形底邊上的高也是底邊中線，這個高是特徵線段，垂足是特徵點。碰到等腰作高也是基本的經驗套路。

從這道題中，可以體會到輔助線的產生不是神來之筆，不是石頭縫裡突然蹦出的，它是自然而然產生的，是有一定的蛛絲馬跡的線索和邏輯依據的，不是單靠輔助線口訣和套路。當然也有一些題的輔助線和變換感覺很有想像力、創造力和藝術性，此時除了欣賞外，還要研究這些想像力、創造力的來源和藝術性，分析其包含的科學性和邏輯性，反思其中是否蘊含有高屋建瓴的高觀點，提煉出合適的方法論。

這題所用到的知識顯然都很容易，都是初中生學過的，例如三角形內角和為180度、等腰三角形底邊上的高是底邊中線、相似三角形、切線模型、切線定理。但如果沒有領悟數學解題思維之道，沒有思維對解題過程和數學知識的組織、編排、協調、驅動與調動，顯然大腦知識庫中的知識都是死的，它們不會主動組織、協調、編排成解題方法。