鉸接機構畫代數曲線

2021-03-06 數學教學研究

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理論上，任何一個代數曲線都可以用鉸接機構畫出來。我們今天就舉一個例子。

如下圖所示，準備四根連杆，其中兩根一樣長，長度都為a；另外兩根也一樣長，長度都為b。b>a。四根連杆組成交叉四邊形。

我們說它是交叉四邊形，是因為在兩根長度為b的連杆相交之處並沒有鉸接到一起。上圖中我們也還是畫出了交叉點P，但這個交叉點只是某一時刻的情況。隨著交叉四邊形的變化，這個點也在變化。本題我們就是要尋找這個變化的點的運動軌跡。具體來說，我們在AD和BC杆外各套上一個套管兒，套管兒可以延著連杆滑動。我們讓兩個套管兒互相鉸接，並在鉸接在一起的兩個套管兒的下端安裝上筆尖（補充說明一下，這個機構是一個平面機構）。這個機構基本上就做好了。下面，我們把一根非交叉連杆（比如圖中長度為a的連杆AB杆）固定。於是AB杆不能自由運動，但與AB杆兩端點A和B鉸接的長度為b的兩個連杆是可以在平面內繞A或B轉動的。然後，我們拖動另一長度為a的連杆，則交叉兩桿的交叉點P即筆尖將畫出一條曲線。

我們說，這條曲線是橢圓。

下面是證明：

如圖，連接BD。從而三角形ABD和CBD全等（三邊對應相等），從而角1=角2，從而三角形BPD為等腰三角形，從而BP=DP。所以，AP+PB=AP+PD=AD=b。AD連杆長度是不變的，所以，AP+PB等於定長，也就是說，點P到兩定點A和B的距離之和等於定長，所以，點P運動的軌跡是橢圓。實際上可能只是半個橢圓，如果把這個鉸接機構翻轉到AB的另一側，筆尖調換方向朝下，則就可以畫出另一半的橢圓。最終結果如下圖所示。

今天陸續講一些機構，畫其他曲線。

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