正數a,b有1/(a+1)+1/(b+2)=1/4求ab+a+b最小值?構建a+1+b+2?

2020-12-13 玉w頭說教育

原題

原題：若正實數a，b滿足1/(a+1)+1/(b+2)=1/4，則ab+a+b的最小值為多少？

圖一

前面我們學過了在給出a+b的值，求1/(a+1)+1/(b+2)的最小值。我們解決的方法就是根據a+b的值構建出a+1+b+2得值，用這個值再乘以1/(a+1)+1/(b+2)，就構建出了(b+2)/(a+1)和(a+1)/(b+2)兩個倒數關係的形式，再利用基本不等式就可以求出1/(a+1)+1/(b+2)的最小值。

那麼這個題要求ab+a+b的最小值，是不是也要構建出a+1+b+2的形式呢？

雖然這兩個題中有相似之處，但是再這樣構建是得不出ab+a+b的最小值。

想求出ab+a+b的最小值還是要使用基本不等式，但是在使用基本不等式之前，我們要將ab+a+b中的ab轉換成a+b的形式，然後再將ab+a+b的的式子用一個字母表示出來，再構建兩個數有倒數關係的形式，再用基本不等式解決即可。

將ab+a+b中的ab用a+b的形式表示

要想得到ab的值，就要從等式中獲得，所以只能從1/(a+1)+1/(b+2)=1/4這個等式獲得。

所以可以將等式1/(a+1)+1/(b+2)=1/4左右兩邊同時乘以(a+1)(b+2)得到b+2+a+1=1/4(a+1)(b+2)①。

再將(a+1)(b+2)展開就得到a和b的乘積了。

所以由①式整理得到ab=2a+3b+10，所以ab+a+b=3a+4b+10。

圖二

再將3a+4b+10用一個字母表示

再由1/(a+1)+1/(b+2)=1/4變形得到a=3+16/(b-2)(b>2)。

所以ab+a+b=9+48/(b-2)+4b+10②。

得到②式後，還要構建通過基本不等式能約掉的項數(具有相互倒數關係的形式)，即構建出b-2，因為b-2和48/(b-2)相乘就可以將b-2約掉了。

所以有ab+a+b=9+48/(b-2)+4(b-2)+8+10，整理得到48/(b-2)+4(b-2)+27。

使用基本不等式求出結果

根據基本不等式a/b+b/a≥2，消去字母得到最小值的思想。得到ab+a+b=48/(b-2)+4(b-2)+27≥2√48×4+27=16√3+27。

若且唯若48/(b-2)=4(b-2)時等式成立，即b=2√3+2(負舍)時等式成立，此時b>2，b值可以取到。

所以ab+a+b的最小值為16√3+27。

圖三

總結

當題中遇到ab，即a和b的乘積時，要儘量的將其轉化成a和b相加的形式。

當求的式子中有兩個字母時，將其轉化成一個字母的形式，在構建能約去的項，最後得到結果。

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