初中初二數學《軸對稱》探究五:等腰三角形「三線合一」的性質

2020-12-15 百家號

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O為AB的中點，現將一個三角板EGF的直角頂點G放在點O處，把三角板EGF繞點O旋轉，EG交邊AC於點K，FG交邊BC於點H。

（1）請判斷△OHK的形狀

（2）求證：BH+AK=AC

分析：

1、△OHK是等腰直角三角形。連接OC，因為△ABC 是等腰直角三角形，O為AB的中點，所以根據「等腰三角形『三線合一』的性質」可得到結論：∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，∠AOC=∠BOC=90°；所以AO=BO=CO。

2、觀察圖形可以發現△COK≌△BOH，全等的條件有：∠KCO=∠B（∠KCO和∠ACO是同一個角），OC=OB。此時仍缺少條件：CK=BH或∠COK=∠BOH。根據題意可以選擇證明∠COK=∠BOH。因為∠KOH=90°，∠BOC=90°，∠KOH-∠COH=∠BOC-∠COH；所以∠COK=∠BOH。

3、證明△COK≌△BOH之後，OK=OH。又因為∠KOH=90°，所以△OHK是等腰直角三角形。

4、證明△COK≌△BOH之後，CK=BH。因為CK+AK=AC，所以BH+AK=AC

（1）解：

△OHK是等腰直角三角形

證明：

連接OC

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O為AB的中點

∴∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，∠AOC=∠BOC=90°（等腰三角形「三線合一」的性質）

∴AO=BO=CO（等角對等邊）

由題意知∠KOH=90°（∠EGF和∠KOH同為直角三角形EGF的直角）

∵∠KOH-∠COH=∠BOC-∠COH（前兩個步驟證明了∠KOH=90°，∠BOC=90°）

∴∠COK=∠BOH（等量代換）

在△COK和△BOH中

∠KCO=∠B（∠KCO和∠ACO是同一個角，和∠B一樣都是45°角）

OC=OB（已證）

∠COK=∠BOH（已證）

∴△COK≌△BOH（ASA）

∴OK=OH（全等三角形的對應邊相等）

又∵∠KOH=90°

∴△OHK是等腰直角三角形

（2）

∵△COK≌△BOH

∴CK=BH（全等三角形的對應邊相等）

∵CK+AK=AC

∴BH+AK=AC（等量代換）

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