小學奧數——方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關係】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關係：

四周人數＝（每邊人數－1）×4

每邊人數＝四周人數÷4＋1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝外每邊的人數平方－內每邊的人數平方

內每邊人數＝外每邊人數－層數×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例題1：

一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。那麼參加團體操表演的運動員一共有 多少人？

解：

1、要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2、一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數，其中頂點上的人數計算了兩次，所以減少的人數=每邊的人數×2-1。所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例題2：

歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1、本題考查的空心方陣，根據四周的枚數和每邊上的枚數之間的關係，算出每一層的棋子數。

2、方陣每向裡一層，每邊的枚數就減少2枚。知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數，知道各層每邊的枚數，就可以求出各層的總數。最外一層的棋子的枚數：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），擺這個方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2: 若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4。

則：（16-3）×3×4=156(枚)

例題3：

一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有 多少人？

解：

方陣的行數和列數相同，9×9=81，所以這是一個9行9列的方陣。最外層人數與一邊人數的關係：一邊人數×4-4=一層人數。所以最外層的人數是9×4-4=32(人)。

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