數研課堂|閉區間上連續函數的性質

2021-02-19 北洋數學研究社
閉區間上連續函數有4個簡單並且重要的性質,有界性定理、最值定理、零值點定理和介值定理.它們往往配合微分中值定理使用,對於證明題很是重要.有界性定理

「證明」如果

最值定理零值點原理若函數

(1)方程

(2)求

「分析」第一問有介值定理(或零值點定理)和單調性易證,第二問要用到數列的單調有界性.

「解析」(1)因為,所以在

所以

得

典型例題

「分析」證明存在

「解析」若對任意的

如果這兩個式子中的某個等號成立,例如

則對於

於是由零值點定理知,存在介於

試證:

「分析」最值定理是在閉區間的條件下適用,因此做此題時應將開區間想辦法轉換成閉區間.

「解析」任取定一點

典型例題

「分析」涉及

「解析」記

所以由連續函數的介值原理知,存在

典型例題

「分析」極限存在

「解析」由於

而

所以

資料來源：北洋數學研究社·學研部

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