數學探索|連續函數

在其他點上，我們可以驗證極限和函數值是一致的，只有在 這一個點上有所不同。而這個函數給我們的觀感也是，在 這一處很不舒服，感覺斷開了，而其他地方就很好地連在一起。因此我們就來刻畫一下這種「連接」的感覺。

1.連續函數

從上面的例子，我想連續的定義也很容易被大家接受了，就是：

函數 在其定義域上的一點 連續，若且唯若 。也就是說連續就是極限等於函數值。

如果一個函數在定義域上每一點都連續，那它就是連續函數。

連續函數因為其函數值等於極限，因此也意味著具有極限的性質。比如一個連續在某處為正，那麼在這一點的附近也都是正值——換句話說，不會出現突變。

大家在高中應該都學過二分法求零點。我們在某個零點兩側逼近零點的時候，是什麼保證最終一定能找到那個零點呢？有沒有可能逼近到最後，那一個點的值突然發生跳躍，就像上面圖片裡面的函數一樣呢？事實上不會，因為我們高中接觸的絕大部分函數都是連續的，所以沒有這個擔心的必要。

連續函數的這個特點也帶來了一個特別的性質：當我們對一系列函數值取極限的時候，比如求 ，實際上可以交換 和 的位置，即改為求 （如果存在）。（證明略）

接下來介紹連續函數具有的兩個重要性質：

2.介值定理

其實就是零點存在定理的擴展形式。

如果函數在閉區間上連續，兩個端點的值分別為 （這裡假設 ），那麼任取 ，存在 在閉區間中，滿足 。

本質上和零點存在定理是一致的。證明方法也很簡單——就像我們用二分法去求零點一樣，構造一系列閉區間 ，不妨認為這裡總有 。由閉區間套定理可以知道有唯一的 包含在所有閉區間中，之後也容易驗證 的極限都是 ，再結合極限的保不等式性就得到 。

是什麼保證了這種性質呢？如果函數是在 上的閉區間，是否還有這個定理成立呢？實際上是沒有的。所以保證了介值定理的是我們之前提到過的實數的連續性。

3.最值定理

在閉區間上連續的函數有界，並且存在使得函數取到最大和最小值的點。

想像 上有一個連續的函數，那麼它將是一條連接 的不間斷的曲線。它可以從 開始一直往上走很高，但是因為要回到 ，這條曲線一定會在某個地方拐回來。最值定理大約就是描述了這樣的一件事情。

為了證明它，我們在這裡引入一個新的和實數有關的定理：有限覆蓋定理。第一次接觸它的大家可能會覺得它很難理解（，沒關係，以後見多了就有感覺了）。

我們先來定義區間的開覆蓋：設 是一個開區間的集合（集族），也就是說這個集合的元素是開區間。對於一個區間 ，如果

也就是說， 中的開區間並起來可以蓋住區間 ，我們就說 是 的一個開覆蓋。如果這個 還是一個有限集，那麼我們就叫它有限開覆蓋。

再說一個開覆蓋的子覆蓋，對於一個區間 的開覆蓋 ，從它之中選出一些元素可以形成一個新的集族 ，如果這個 同時也是 的開覆蓋，那就說 是 的一個子覆蓋。

有限覆蓋定理就是說，實數集的閉區間的任意開覆蓋有一個有限的子覆蓋。

比如區間 有開覆蓋 ，可以取出有限開覆蓋 。

為什麼一定是閉區間呢？開區間是否可行呢？我們可以舉一個例子， 的開覆蓋 是沒有有限子覆蓋的。同時所有的開區間和這個 都是等價的（可以用一個一次函數變換過來），因此開區間是沒有有限覆蓋性質的。

有限覆蓋定理的證明可以用閉區間套定理，方法就是把假設區間不能被有限覆蓋，那就把區間分成兩半，其中肯定有一半不能被有限覆蓋，這樣下來得到閉區間套夾住的一點不能被有限覆蓋，但是一點肯定是可以被一個區間覆蓋的，而且這個區間肯定會覆蓋一大批閉區間套中的「不能被有限覆蓋」的區間，因此產生矛盾。

這個性質和上次提到的閉區間套性質一樣，都是閉區間獨有的性質。這兩者體現的是閉區間具有緊緻性。我們這裡要證明的最值定理，其實也是緊緻性保證的結果。

下面我們來證明最值定理吧~ 首先說明有界性。對於閉區間上的每一個點取一個鄰域，根據連續的性質和極限的定義，這個鄰域內是有界的。然後這些鄰域構成了閉區間的開覆蓋，我們因此可以取出有限子覆蓋。假設這個有限覆蓋的元素個數是 ， 個開區間分別有界 ，只要取最大值就是整個函數的界了。

知道了函數有界之後，我們就可以知道這個函數（記作  吧）的值域有上下確界。以上確界為例， ，如果 ，那麼函數 是在這個閉區間上連續的（極限的四則運算），因此也是有界的——但是根據上確界的定義， 應該可以任意接近 ，也就是說 的分母可以任意小，所以這有說明 無界，這就矛盾了。所以 一定可以取到。對下確界也是同理。定理得證了。

回到緊緻性，這個令人迷惑的性質到底保證了什麼，才讓最值定理成立？有限覆蓋定理髮揮了怎樣的功效？在這裡我們可以看到，有限覆蓋的關鍵就在「有限」上，有了有限，就可以枚舉、可以得到最大值而非（不一定能取到的）上確界。把無限變成有限，或許就是最大的功力了。

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