152 對數與對數函數-----圖形的奧妙

152 對數與對數函數

  前三節介紹了指數函數，本節介紹對數與對數函數。因為剛開始學習對數時候一般都感到不能馬上適應，比如符號「log」、「底數」、「真數「、「對數」等都是新的術語。由於對數與指數是緊密相關的，所以下面介紹對數時採用與指數同時比較的方法，這樣會感到更好理解一些。

 本節介紹兩個內容：對數函數的定義和性質，以及對數運算法則。

一、對數函數的定義和性質

 1、指數運算與對數運算

  其中log可以理解為與開根號（√）類似，即是一種運算符而已。 

  下圖是指數運算與對數運算的比較。

指數運算與對數運算▲

在指數運算中的三個數分別叫做底數、指數和冪。在對數運算中的三個數分別叫做底數、真數和對數。真數是在對數運算中是與對數相對的數，詞典裡解釋為合乎實際的數據，真數對應於指數運算中的冪，只是使用的場合不同，名字也就不同。下圖說明在兩種不同場合（指數運算與對數運算）下的符號與術語。

運算數的符號與術語▲

我國「對數」的名稱是這樣來的，17世紀中葉以後，對數隨對數表傳入我國。開始在1og102=0.30103這樣的式子裡，2就叫做「真數」(這個名稱至今沒變)，而0.30103叫做「假數」。後來「假數」這個名稱漸漸不用了，而使用「指數」來代替，據說是相對於真數而言，0.30103也就叫做「對數」了。

對數表是早期用對數運算解決大量乘除數據而使用的表，是從西方傳來的，關於對數表下節會介紹。

2、對數函數的定義 

對數函數的定義▲

  y=a^x為指數函數，y=logax為對數函數。與運算式最大的不同是，用了自變量x與因變量y，這樣就由運算式變成了函數式了，見下圖。 

指數函數與對數函數▲

   已知對數函數y=log2x，如何畫出函數圖形呢，一般是通過計算、列表、描點和光滑連接，就能得到該函數的圖形，這是一條曲線，見下圖。如用計算機畫圖呢，那用編程或使用軟體來完成。對函數y=log2x的理解就是，2的多少次方是y。

對數函數的含義及形成▲

 3、對數函數與指數函數的比較

對數函數與指數函數之間有區別也有聯繫。

①對數函數中的底數⟺ 指數函數中的底數 。（⟺ 意為對應於）

②對數函數中的真數⟺ 指數函數中的冪 。

③對數函數中的對數⟺ 指數函數中的指數 。

指數函數與對數函數的區別與聯繫▲

  ④對數函數的圖形在一、四象限（指數的圖形在一、二象限）。

  ⑤對數函數都過（1，0）點（指數函數都過[0，1]點），見下圖。

⑥對數函數是指數函數的反函數。

⑦反函數的兩個圖形關於直線y=x形成軸對稱，見下圖。 

指數函數與對數函數的對稱性▲

    對數函數y=log2x與指數函數y=2^x互為反函數，它們的圖形對稱於直線y=x，見下圖。 

反函數是數學中眾多函數的一種函數。如果x與y關於某種對應關係表達為函數y=f(x)，如果存在反函數的話，那麼：

 

  例如，函數tan(x)的反函數就是函數tan^(-1)(x)。前者是正切函數，後者是反正切函數,後者也寫為arctan(x)。

反函數y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域，見下面有關對數函數性質與圖形的圖表。

4、對數函數的性質與圖形 

對數函數的圖形與性質▲

其底數互為倒數的兩個對數函數的圖形是關於x軸對稱的，當a>1時底數越大，曲線越靠近x軸。當0<a<1時，底數越小，曲線越靠近x軸。 

  見下圖，根據對數函數的單調性可以得出，在對數不變的情況下底數的大小與真數的大小之間的關係。

二、對數運算法則

1、基本法則 

2、擴展公式 

第⑩條,是經常用到的換底公式,通常換為10為底的對數,符號為「lg」,把log中間的o去掉。lg叫做常用對數，如lg10=1（相當於log1010=1）。在科學計算中一般用自然數e(e≈2.71828 18284……)為底數，叫做自然對數，符號是「ln」，如ln(e)=1（相當於logee=1）。關於自然對數在下節介紹。

3、常用對數(lg)運算舉例

[例1]題目：  

[解題]

[答案]計算結果是3。

[例2]題目：

[解題]

[答案]見上圖紅線矩形內所示。

  如要用可攜式計算器或手機帶的計算器計算此值,則要用到換底公式,把結果化為lg(0.1)÷lg(1÷3)輸入計算器結果為：2.0959……。編者用計算器也直接對原題計算,輸入1÷(lg(1÷9)÷lg(1÷4)) + 1÷(lg(1÷3)÷lg(1÷5))，結果也是2.0959……，這就證明了上述化簡過程是正確的。(註：有的計算器使用log表示10為底的對數)

  或許你對對數運算不甚感興趣,那麼除了對數函數的圖形以外還有沒有與對數有關的圖形呢？回答是：有，如對數螺旋線，見下圖。

對數螺旋線▲

鸚鵡螺▲

  鸚鵡螺的體型就是對數螺旋線，其方程為極坐標方程：

  這明明是指數形式嘛,為什麼叫對數螺旋線呢?因為該方程裡底數e就是自然對數裡的e。

 下節繼續介紹與對數有關的內容(包括自然常數e)。

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