教學內容：青島版小學數學六年級上冊第五單元信息窗2——圓的周長。
教學目標：
1.在自主探索圓的周長計算方法的過程中，感知圓的周長與直徑（半徑）的關係，會計算圓的周長。
2.了解人類用不同方法探索圓周率的過程，體會數學研究的方法、數學的嚴謹以及數學學科的發展歷程，感受數學文化的魅力。
3.在探索和感知過程中，增強民族自豪感，堅定學習數學、研究數學的信心和意志。
教學準備：
學生：2人一組——分別準備1個大小不同（直徑分別為3cm、4cm、5cm）的圓、線繩、直尺，記錄數據的研究單。
教學過程：
【課前談話】
師：面對我這位陌生的老師，有什麼想了解的問題嗎？
生1：您姓什麼？叫什麼名字？
生2：您多大了？
師：想知道這些問題的答案，可以採取什麼方法？
生1：可以猜。
生2：老師可以告訴我們答案。
小結：認識一位新老師，一般由提出自己想了解的問題入手，再規劃研究這些問題的方法、方案，最終得出對這位新老師的認識。
【評析：通過課前交流，滲透一種研究問題的方法和過程：問題——方法——結論，為後面展開數學研究做好方法的鋪墊和研究的一般過程的滲透。數學研究的一般過程作為數學文化的重要組成部分，有必要通過教學具體內容為載體，讓學生充分經歷、體驗、感受。】
一、複習引入
師：我們最近研究了一種新的平面圖形——圓。研究圓和研究其他平面圖形一樣，一般是從「形狀」和「大小」兩個角度研究。能用一句話描述一下圓的形狀嗎？
生：圓是用曲線圍成的圖形。
師：圓是一個曲線圖形。
生：圓有一個圓心、無數條半徑和無數條直徑。
師：我國古代有位思想家——墨子，曾經用「圓，一中同長也。」描述圓，一中和同長是指什麼？
生：一中就是指的圓心，同長就是指的半徑或者直徑。
師：要描述圓的大小，一般用直徑或半徑描述，有時還會用它的周長和面積來說明。
（課件梳理研究的關於圓的主要內容）
師：今天這節課，我們就一起來研究圓的周長。
（板書課題）
【評析：課的開始進行簡單的複習，一是了解學生對圓的認識，讓學生回顧、體會「圓，一中同長也」這一古代人的數學智慧；二是共同梳理研究平面圖形的一般內容，對圓這種平面圖形有總體感覺，也是滲透圖形研究的一般過程。】
二、自主探索，合作交流
師：圓的周長對我們來說是一個新的知識，就像認識一位新老師一樣，大家肯定會有一些問題。請提出問題，我們選擇大家感興趣的、有價值的問題深入研究。
生1：什麼是圓的周長？
生2：怎麼算圓的周長？
生3：怎麼量圓的周長？
（選擇板書：怎麼量？怎麼算？……）
師：今天這節課的研究就從我們提出的這些問題開始。
【評析：思起於疑。每當遇到一個陌生情境、陌生問題，學生的第一反應一般都是從問題開始，以問題引領，再規劃探索問題的方法、方案，進而通過開展研究得出結論。問題意識的培養是數學文化教學的重要內容。】
1.什麼是圓的周長？
師：要研究圓的周長，首先得知道什麼是圓的周長。以黑板上老師畫的這個圓為例，誰能邊指邊說說它的周長。
指名指黑板上圓的周長。
生：這一圈的長度就是圓的周長。
（課件演示圓的周長）
師：圓的周長就是圍成圓一周的曲線的長度。
2.怎麼測量圓的周長？
師：（拿一個學具圓）想知道這個圓形學具的周長，怎麼辦？
生：量一量。
師：以前我們測量長度都是用直尺，可這個是曲線圖形，怎麼量？
生1：（邊演示邊介紹）可以用一根軟尺沿著圓的邊繞一圈，就可以測量出它的周長了。
生2：也可以在一個圓柱的邊上塗上墨，把圓柱在紙上滾一圈，再量墨的長度就可以了。
師：你的意思是這樣就能測量出圓柱的底面上的圓的周長了是嗎？你看是不是這個意思。
（課件演示用「滾動法」測量圓的周長的過程。）
師：還有別的方法嗎？老師提示一下，我這有根線繩，對測量有什麼幫助嗎？
生：哦！可以拿這根繩子繞圓一周，再把繩子拉直，測量繩子的長度，就是圓的周長。
師：不管是用繩子還是軟尺，還是用滾動的方法測量，這些方法都有一個共同點——把一條曲線變成了直的。這種方法在數學上叫「化曲為直」。
（板書：化曲為直）
師：除了測量之外，剛剛還有同學提出怎麼算圓的周長這一問題。那接下來我們就一起研究到底怎麼算圓的周長。
【評析：學生對圓的周長並不陌生，在三年級學習周長的概念時，對圓的周長已經有了一定的了解。該環節充分藉助學生已有知識經驗和生活經驗，通過動手操作進一步明確了什麼是圓的周長和怎麼測量圓的周長，結合具體操作體會「化曲為直」的數學思想方法，也為接下來的深入研究做好概念、操作方法的鋪墊。】
3.怎麼算圓的周長？
（1）藉助經驗思考「周長與什麼有關？」
師：要研究怎麼算，我們先研究第一個問題——圓的周長可能和什麼有關？
（板書：與？有關）
生：我認為圓的周長和半徑或者直徑有關。我們學過半徑或者直徑決定圓的大小。
師：這位同學不僅說出了結論，而且說出了理由。他根據已有經驗猜想周長與直徑或半徑有關係。藉助已有經驗也是數學研究中很重要的方法。
（課件直觀演示周長與直徑有關係）
（板書：經驗 與d（r）有關）
（2）用實驗法研究「周長與直徑有什麼關係？」
師：繼續研究第二個問題，既然與直徑有關，那到底有什麼關係呢？
（板書：有？關係）
生：……
師：這個憑感覺就不太好猜想了，我們也沒有這方面的經驗。現在能想辦法設計一個方案研究一下周長和直徑的關係嗎？請同位兩人先討論一下，我們應該怎麼研究呢。
生1：得有數據才能研究。可以找一個圓，量一量它的周長和直徑，然後算一算，看看它們有什麼關係。
生2：只研究一個圓不行，得多研究幾個圓，才有代表性。
師：大家已經具備了一個數學家的潛質。我們研究數學就得這樣，不僅要能根據感覺猜想一些可能存在的結論，還要想辦法設計研究方案證明結論。下面咱們就採取我們共同討論的研究方案開展研究。
（課件出示研究方案：1.每組測量一個圓的周長（測量數據保留一位小數）；2.匯總各組測量的數據；3.根據數據找周長和直徑的關係。）
（同位兩人合作測量。收集數據，師在課件中輸入學生測量的數據。）
師：我們好多組測量的是同樣大小的圓，但測量的結果卻有差別，到底以誰的為準？
生1：我覺得應該以中間那個數據為準。
生2：我覺得應該算算這幾組數的平均數，以它們的平均數為準。
師：測量結果有誤差，要減小誤差一般取幾個數據的平均值。
（板書：有誤差）
師：現在就請用計算器算出我們測量的每個圓的周長的平均值，剛才你們測量的哪個圓就計算哪個圓的數據。
（匯總學生計算的數據）
師：觀察一下，周長和直徑有什麼關係？
生1：我怎麼感覺直徑乘3就差不多是周長呢。
師：大家都算算，看看他的感覺對嗎。
生2：差不多，但每個圓的周長都是直徑的3倍還多一點。
師：那就再用計算器算一算每個圓的周長除以直徑得到的倍數，看看它們的倍數有共同點嗎。
生：都是3倍多。差不多是3.3倍。
師：這是我們通過自己設計研究方案，又親自研究之後得出的結論。我們剛剛所用的方法是做實驗的方法研究出了結論。（板書：實驗法 是d的3倍多）
師：我們再通過電腦演示看看它們是不是3倍多的關係。
（課件直觀演示周長是直徑的3倍多）
師：通過我們大家共同的努力，已經有了研究成果——周長是直徑的3倍多。對我們的研究成果還滿意嗎？
生：滿意。
師：滿意在哪？
生1：這是我們自己研究出來的。
生2：我們通過自己的研究發現了一個秘密，周長和直徑是有關係的，並且大約是3.3倍的關係。
師：在歷史上人們也一直在探索圓的周長和直徑的關係，也曾經得到過這樣的結論。但歷史上得到這個結論用了非常漫長的時間，咱們只用十多分鐘就得出了一個這樣的結論，應該為我們自己點個大大的贊。
師：對我們的研究成果感到還有什麼遺憾的地方嗎？
生：這個關係還不準確。只是說3倍多，到底多多少，還是不知道。
師：我們做研究就得有這種反思的意識，只有不斷反思不足才能不斷超越。
師：看來用做實驗的方法還是有一定局限性的。
【評析：圓的周長計算公式是前人已經探索得出的重要數學模型，將靜態的數學知識成果動態地展開其探究過程，引導學生再經歷提出問題——提出猜想——動手操作、數據分析——得出結論、建立數學模型的全過程。經歷再創造模型的過程，學習象數學家一樣做研究，激發學生勇於探索的數學精神，學會用實驗證明猜想、數據分析得出結論的數學思維方法，培養模型思想。這種模式有利於學生體會數學與外部世界的聯繫，感受數學文化的應用價值。】
（3）了解「古人怎麼探索周長與直徑的關係的？」
師：其實，我們人類在探索圓的周長與直徑的關係時是經歷了一個漫長而複雜的過程，我們在這一節課中就要想到一個十全十美的方法，也不太現實。經過人類不斷的探索，已經發現了圓的周長與直徑的準確關係。
（課件出示：圓的周長除以直徑得到的倍數是一個固定的數，叫做圓周率，用希臘字母π表示。）
師：通過這段話，你知道了什麼？
生1：我知道了圓的周長除以直徑得到的倍數叫做圓周率。
生2：我還知道了圓周率是一個固定的數，用希臘字母π表示。
（板書：圓周率 π）
師：圓周率是一個固定的數，那到底是多少？我們一起來看。
（課件出示π值的前1000位……）
師：看了這個固定的數，有什麼感覺嗎？
生：我覺得有點頭疼，小數位數太多了。
師：圓周率實際是一個無限不循環小數。
師：我們人類是怎麼探索圓周率這樣一個看似非常複雜的數的呢？下面就跟隨一段微視頻一起了解一下。
（課件出示微視頻：①古人用實驗法得出圓周率——古巴比倫、古埃及、古印度、中國的《周髀算經》「周三徑一」。②後來人們又用幾何法推理計算圓周率——阿基米德開創了用理論計算圓周率的先河；劉徽的割圓術；祖衝之計算出「圓周率大約在3.1415926和3.1415927之間」。③再後來人們嘗試用分析法計算圓周率，大大提高了計算的效率。④隨著科技的發展，人們藉助計算機計算圓周率，使得計算更快更精確，目前已經計算到了小數點後31.4萬億位。⑤對圓周率的不斷探索促進了數學學科的發展，同時也推動了科技的日新月異。）
師：看了這段微視頻有什麼想說的嗎？
生1：我們的古人太聰明了。
生2：我們的古人很偉大，條件很艱苦，但還能計算出這麼多位數，很了不起。
師：雖然裡面提到的一些方法目前我們還看不懂，但我們已經感覺到了人們一直嘗試用不同的方法計算圓周率，不斷的在超越前人的研究成果。數學研究就得需要這樣的勇氣和智慧，不斷的完成對自己和對前人的超越。
（板書梳理：割圓術、分析法、計算機…… 是d的π倍）
【評析：限於學生的知識基礎，對於更多的用割圓術、分析法、計算機幫助計算等等探索圓周率的過程，沒法讓學生親身經歷，所以教師採取了用微視頻介紹人類整個探索過程的方式呈現給學生，學生在觀看了解的過程中，感受到人類的偉大、聰明，更重要的是感受人類不斷求知、不斷探索、不斷超越前人和自己的探索精神。數學文化的滲透可以採取多種方式，經歷再現前人的探索過程是最主要的方式，介紹背景資料也是重要的方式。】
（4）推導「怎麼計算圓的周長？」
師：我們已經知道了「圓的周長是直徑的π倍」，如果知道了圓的直徑，怎麼求圓的周長？
生：用圓周率乘直徑就可以了。
師：圓的周長等於圓周率乘直徑，C＝πd。
師：如果知道了半徑，又該怎麼計算呢？
生：C＝2πr。
師：圓周率是一個無限不循環小數，實際計算時一般取它的近似數3.14進行計算。
（板書：C＝πd C＝2πr π≈3.14）
三、鞏固練習。
計算圓的周長。（在練習本上計算）
1.計算剛剛研究的圓形學具的周長。（已知直徑求周長）
師：把求出的周長和自己測量的結果對比一下，有什麼想說的嗎？
生：測量的誤差大，計算更精確一些。
2.計算黑板上圓的周長（它的半徑是15cm，那麼它的周長是多少？）。
【評析：基本概念的掌握，基本公式的總結，基本技能的形成都是顯性的數學文化的重要內容，正因為有了前面經歷了充分的圓周率的探索過程，最後總結圓的周長計算公式就顯得水到渠成，又通過基本練習幫助學生形成基本技能，進一步熟練掌握圓的周長的計算公式。】
四、拓展。
師：今天我們研究的是圓的周長，但實際上研究的重點是圓周率。圓周率不僅可以幫助我們計算圓的周長，關於圓周率還有很多有趣的事情。你還知道什麼？
生1：我聽說過好像有一個圓周率日。
師：圓周率日？知道是哪一天嗎？
生：不知道。
師：猜一猜，可能會是哪一天？
生：我覺得應該是3月14日。
師：為什麼這樣感覺？
生：圓周率一般取近似值3.14。
師：你的感覺非常好，確實是，人們為了慶祝圓周率這一神奇的數，把每年的3月14日定為圓周率日，數學愛好者們在這一天會設計很多有趣的活動慶祝這一節日。有興趣的同學課下可以搜一搜人們都會開展哪些活動慶祝。
師：圓周率的神奇還不止於此，有人還把圓周率譜成了樂曲，我們一起來聽一聽圓周率曲是什麼感覺。
（播放用圓周率譜成的樂曲，欣賞數學美）
【評析：本節課探索的重點就是圓周率，而圓周率是一個無限不循環小數本身就是一個非常有趣的事情，所以在探索中，教師特意把這一現象做了突出強調，和學生一起體會這一好玩的現象。同時也通過直觀演示、資料介紹等方式滲透了極限思想。正因為圓周率的特殊性，所以教師特意又挖掘了關於圓周率的一些背景資料，比如圓周率日、圓周率曲等，讓學生體會原來數學也可以很美的。】
五、回顧總結。
師生共同回顧總結研究過程：問題——方法——結論。
師：數學研究往往始於問題終於新的問題。關於圓的問題肯定還有很多，就讓我們帶著這些新的問題展開新一輪的更深入的研究。
【評析：思起於疑，任何的思考都源於對外界的好奇、疑問，順應這種人類認識外界的思路與方法，本節課先讓學生提出問題，再根據這些問題規劃研究問題的方法，進而一步一步展開深入的研究。在這一過程中形成圓周率的概念、總結圓的周長計算公式。這一過程也是引導學生經歷「問題——方法——結論」的研究過程，並在課的結束時提升出來，顯性呈現，主要目的是滲透簡單的數學研究的基本過程。不斷反思、不斷總結才能不斷前進，教師有意在課的最後對整節課的研究過程做了一個總體梳理，這比單純的總結本節課學了哪些知識更有價值。】
【總評：本節課滲透的數學文化主要包括：圓的周長的計算公式、圓周率等知識、概念類的顯性數學文化，數學研究的一般過程、數學方法、數學研究的歷史、數學審美等隱性數學文化。文化的滲透得有一定的載體，得有合適的方式，才能將學術形態的文化轉變為教育形態的文化。為了滲透這些數學文化，教師在教學中重點突出了三個問題：為什麼要研究這個知識？怎麼研究這個知識的？這個知識有什麼價值和意義？圍繞著三個問題，整節課設計了四個大的環節：一是提出問題，有問題就有了研究的必要；二是自主開展研究，學生親身經歷才是使數學文化落地的根本；三是介紹歷史資料，在學生不能及的地方，老師幫一把，也是有效的滲透數學文化的方式；四是應用和拓展，研究的價值和意義在應用和拓展中突顯。整節課以圓的周長的探索過程為載體，在學習顯性知識的同時有機的融入了數學史、數學思想方法、數學研究過程、數學審美等隱性的數學文化，是數學文化教學的很好的範式。】
附：板書設計
來源：劉萬元老師省展示課，尊重原創，最終歸原作者。
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