一般說來,數學思想方法就有三個層次:低層次的數學思想方法有消元法、換元法、待定係數法等等;較高層次的數學思想方法有分析、綜合、歸納、演繹、抽象等;高層次的數學思想方法有轉化、分類、數形結合等。較低層次的數學思想方法經過抽象概括可上升為較高層次的數學思想方法,各層次間沒有明顯的界限。下面我們介紹幾種數學中常用的數學思想方法。
1、函數與方程的思想
函數與方程的思想就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關係,抽象出其數量特徵,建立函數關係式,利用函數或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想。深刻理解函數的圖像和性質是應用函數思想解題的基礎。而運用方程思想解題就是將所面臨的問題轉化為方程,通過解方程得到相關結論,再結合原題得到最後結果。
例如,我們在解一元二次不等式時,可以利用一元二次方程和一元二次函數的圖像來解決此問題。
2、轉化與化歸的思想
轉化與化歸的思想是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識範圍內可解問題的一種重要的基本數學思想。這種化歸應是等價轉化,即要求轉化過程中的前因後果應是充分必要的,這樣才能保證轉化後所得結果仍為原題的結果。
化歸思想在解題中的運用可概括為「化難為易,化繁為簡,化未知為已知」,也就是把複雜繁難的數學問題通過一定的數學思維、方法和手段,逐漸將它轉變成一個熟知的簡單的數學形式,最後通過熟悉的運算把它解決。
例如,前面我們所說的「二元方程組、高次方程」,利用「消元、降冪」等方法,最後都可以將它們轉化成一元一次方程或一元二次方程。
3、數形結合的思想
數形結合的思想是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯繫,既分析其代數含義又揭示其幾何意義,使問題的數量關係和空間形式巧妙、和諧地結合起來,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。
其實質是將數學問題中抽象的數量關係表現為一定的幾何圖形的性質(或位置關係),或者把幾何圖形的性質(或位置關係)抽象為適當的數量關係,使抽象思維與形象思維結合起來,實現抽象的數量關係與直觀的具體形象的聯繫和轉化,從而使隱蔽的條件明朗化。
數形結合的思想包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面。
例如,在初中我們學習建立平面直角坐標系後,研究函數的問題就離不開圖像了。往往藉助圖像就能使問題明朗化,比較容易找到問題的關鍵所在,從而解決問題。
4、分類與整合的思想
分類與整合的思想是當數學對象的本質屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時,根據其不同點選擇適當的劃分標準分類求解,並綜合得出答案的一種基本數學思想。有分有合,先分後合,是分類與整合思想的本質屬性,但要注意按劃分標準所分各類間應滿足互相排斥、不重複、不遺漏、最簡潔的要求。
在解題過程中,常用的劃分標準包括按定義劃分、按公式或定理的適用範圍劃分、按運算法則的適用條件範圍劃分、按函數性質劃分、按圖形的位置和形狀的變化劃分、按結論可能出現的不同情況劃分等。
例如,數學中含字母參數的數學問題時,必須根據參數的不同取值範圍進行討論,這是進行分類與整合的研究,主要考查了學生思維的嚴謹性與周密性。
5、整體思想
整體思想處理數學問題的著眼點或在整體或在局部。它是從整體角度出發,分析條件與目標之間的結構關係,對應關係、相互聯繫及變化規律,從而找出最優解題途徑的重要的數學思想。
在解題中,為了便於掌握和運用整體思想,可將這一思想概括為「記住已知(用哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創造機會把未用上的條件用上?)」想著目標(向著目標步步推理,必要時可利用圖形標示出已知和求證)」;看聯繫,抓變化,或化歸;或數形轉換,尋求解答。一般來說,整體範圍看得越大,解法可能越好。