中學數學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為基礎知識，另一個稱為深層知識．基礎知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法。
基礎知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識．學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的基礎知識後，才能進一步的學習和領悟相關的深層知識。深層知識蘊含於基礎知識之中，是數學的精髓，它支撐和統帥著基礎知識．教師必須在講授基礎知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握基礎知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的基礎知識達到一個質的「飛躍」，使其更富有朝氣和創造性。本文舉例說明在數列問題中滲透的數學思想方法，以供參考。
一、函數的思想
數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同，因此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性。
例1．若{an}是等差數列，首項a1 ＞0，a2003+ a2004 ＞0，a2003 × a2004 ＜0，
則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數n是（ ）
A.4005 B.4006 C.4007 D. 4008
解析：∵a1 ＞0，a2003+ a2004 ＞0，a2003× a2004 ＜0，
∴a2003 ＞0， a2004 ＜0，∴ S2003為Sn中的最大值.
∵Sn是關於n的二次函數，∴圖象如圖所示，
∴2003到對稱軸的距離比2004到對稱軸的距離小。
∴4007/2 在對稱軸的右側。根據圖象的對稱性可得4006在圖象中右側零點B的左側，4007、4008都在其右側，∴Sn＞0中最大的最大自然數是4006. 故選B。
簡評：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，考查了等差數列的性質,數列求和等知識點.
二.構造的思想
有時為了方便解題，需要利用構造的思想方法，常用的構造方法法有構造函數，構造方程，構造不等式，構造數列，構造圖形，構造數學模型等等。
解析：利用直線方程構造等差數列。
簡評：本題融合了直線和數列等知識於一爐，結構巧妙，形式新穎，是一道精緻的綜合題.
三、整體代換的思想
整體代換是一種常用的 數學方法，利用整體代換法可以簡化運算，避開不必要的未知量求解。
故答案選（C）.
點評:在本例中，利用已知的a1＋b1=5，就可以避免求a1和b1，大大簡化了運算。同時也開闊了學生的視野，考查了考生靈活運用所學知識解決問題的能力。
四、分類討論的思想
分類討論思想是中學數學常用的數學思想，分類討論的關鍵是分類的原則，只有明確討論的原因，才能準確、恰當地進行分類討論，分類應做到不重不漏。
五、特殊化與一般化的思想
特殊化與一般化也 是一種常見的解題方法，特別是在選擇題和填空題中更為多見。利用特殊化與一般化的思想可以化繁為簡，化難為易，解題迅速而準確。
例5.已知a、b、c成等比數列，如果a、x、b和b、y、c都成等差數列，則=a/x +c/y =_________.
分析: 由題意知a/x +c/y 是一個定植, 只需要找到滿足題意的a、b、c成等比數列, a、x、b和b、y、c都成等差數列的特殊數值即可。
解：令a=1, b=3,c=9, 則由題意有 x=2, y=6,此時 a/x +c/y =1/2 +9/6=2.
答案：2.
六.分解與組合的思想
分解與組合是一個矛盾的統一體，利用分解或組合的方法可以把一些看似無規律無目標的問題變得有規律可循，有了明確的解題目標。把陌生的問題轉化為熟悉的數學模型，化不可解、難解的問題為可解、易解的問題。下面用分解與組合的思想解兩道數列題，希望對讀者有所啟發。
例6.四面體數為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個數，猜想通項公式為_________.
解析：觀察已知數列的前幾個數，很難找到各數據間的規律，我們從何處入手呢？
我們知道壘成正四面體堆垛的小球的大小相同,因此各層的小球一定構成等邊三角形,把這樣的各層小球堆垛起來,就構成了一個個的正四面體.而組成各層等邊三角形的小球數分別為1,3,6,10,15,21,….這是一個二階等差數列(數列中相鄰兩項之差為等差數列),可以猜想其通項公式為an=n(n+1)/2。
可以用數學歸納法證明(證明略).所以堆垛的各層為三角形數，
點評:本題既有分解的思想又有組合的意識,收到了避繁就簡,化難為易的效果.
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