多角度構造等量關係求正方形中的線段長（八年級數學）
在八年級下冊正方形學習時，由於它本身的對稱性導致可用等量關係非常多，無論從哪個角度出發，總能找到合適的思路去解決問題，在例題教學中，我也發現學生對前面知識點的熟練程度直接導致了突破口選擇的不同，這樣的例題很難得，同時學生的多種思維更難得。
題目
正方形ABCD的邊長為6，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD、CD於G、F兩點，若M，N分別是DG，CE的中點，求MN的長.
解析：
方法一，構造中位線
在閱讀題目條件過程中，一般出現了兩個中點，多半可以聯想到中位線，當然，圖中的MN目前還不是任何一個三角形的中位線，因此需要構造圖形。
點M是DG中點，DG是△DFG的一條邊，N是CE中點，而CE所在三角形有兩個，分別是△EBC和△EFC，選擇哪一個，取決於綜合分析結果。
我們取DF中點H，連接MH，再取CF中點K，連接NK，最後再過點M作NK的垂線，如下圖：
從上圖中，我們成功構造出了兩條中位線，順便一個矩形MLKH，而我們要求的線段MN，在△MNL中。
正方形邊長為6，BE=4，我們可以由它們求得DF=2，HF是DF的一半，FK是CF的一半，因此HK是CD的一半，HK=3，而MH是FG的一半，FG=DF=2，因此MH=1，同樣的NK是EF的一半，得到NK=3，於是我們可求得NL=3-1=2，在Rt△MNL中，利用勾股定理可求MN=√13；
方法二，構造全等三角形
連接EM，CM，MF，如下圖：
先看圖中的△DFG，它是一個等腰直角三角形，M是斜邊上的中點，所以可得FM=GM，∠MFD=45°，再觀察圖中的△EMG和△CMF，∠EGM=∠BEF+∠ABD=135°，∠CFM=180°-∠MFD=135°，然後看圖中△BEG，它也是一個等腰直角三角形，於是EG=BE，再加上矩形BCFE，BE=CF，等量轉換得到EG=CF，至此全等的條件全部具備，可證明△EMG≌△CMF，所以∠EMG=∠CFM，EM=CM，而∠CMF+∠BMC=90°，因此∠EMG+∠BMC=90°，即∠EMC=90°，這就說明△EMC也是一個等腰直角三角形，且N是斜邊上的中點，因此MN為CE的一半，顯然CE利用勾股定理可求，CE=2√13，所以MN=√13；
方法三，構造一線三直角模型
連接EM，CM，取DF中點K，連接KM並延長交AB於點H，如下圖：
這仍然利用了中位線，證明MK∥EF，再來看圖中△BHM，很容易證明它是一個等腰直角三角形，△DMK也是等腰直角三角形，所以我們可得到HM=HB，MK=DK=KF，圖中四邊形EFKH是矩形，因此MK=EH，圖中四邊形BCKH也是矩形，因此MH=CK，至此△EMH≌△MCK，和方法二類似，我們仍然能證明△EMC是等腰直角三角形，從而求得MN=√13，不再贅述。
解題反思
在正方形幾何題中，常見的等量關係有矩形、等腰直角三角形、直角三角形、等腰三角形等，它們的出現並不是隨機的，而是有依據的，因此讀題的過程中，找出它們很關鍵，有些圖形是明擺著畫出來的，還有一些則是被命題者「拿掉一部分」的，這需要平時訓練中，對常見模型爛熟於心。
解法之所以會多樣，原因是多角度看問題，在教學過程中，這樣的一道題，勝過三道不同的題目，深入挖掘題目本身的構造，有利於培養學生全面思考問題的習慣，而一題多解本身，也考驗學生的學習習慣與態度，通常情況下老師如果不作要求，那麼多數學生完成之後便不會再思考另外的解法，這並不好，需要老師在批改作業時，對使用多種解法的學生進行鼓勵，從而讓「題盡其用」。