淺析數學拓展題解答技巧

數學之美

淺析數學拓展題解答技巧

摘要：能夠嫻熟解答數學拓展題，我們往往把這類學生冠之以「數學天才」。這是數學學習的一道坎，也是很多孩子難以逾越的難關。那麼，問題的症疾究竟在哪裡呢？學生通過解題領悟解題方法，才能逐漸形成解題技巧。嫻熟的解題技巧是遊刃有餘駕馭所學知識，自如啟動有關知識點的儲備。隨著知識的不斷豐富，隨著解題技巧的日臻成熟，學生的抽象邏輯思維能力會逐步提升，他們的數學綜合素質也會不斷提高。

關鍵詞：數理規律邏輯推理遷移知識點思維變通對應關係解題方法技巧

數學題設計大致分兩種類型：

一種是針對知識點加以鞏固的基礎性試題。這類題型，與知識點的聯繫很明顯，如果學生該知識點掌握較好，解答起來並不困難。另一類是針對知識點加以延伸的拓展性試題。這類題型，與知識點的聯繫很隱蔽，學生即便掌握了該知識點，但如果不能靈活運用，不能由點發散思維，不能由此創新思維，一旦遇見這類題型，還是會一籌莫展，束手無策。

學生解答數學題的能力，也是運用數學知識解決應用問題的能力。能夠嫻熟解答數學拓展題，我們往往把這類學生冠之以「數學天才」。這是數學學習的一道坎，也是很多孩子難以逾越的難關。那麼，問題的症疾究竟在哪裡呢？這正是本文要探討的問題：解答數學拓展題，要講究一定的技巧性。

教師要有意識地訓練學生的解題技巧。學生解題技巧有個從形成到熟練、從簡單到複雜的積累過程。學生數學思想也會在這一過程中不知不覺形成起來，並得到加強和提升。

學生掌握數學知識點的程度，主要是看他們能否運用知識點去解答相關數學問題。所以，教師在教學每個知識點之後，除了讓學生通過基礎題練習對知識點加以鞏固，還要重視設計相應的拓展題，有意識地訓練學生靈活運用知識點解答較為複雜的數學問題，這對於學生提高數學學習興趣、增強學好數學的自信、培養創新思維能力，都是大有裨益的。

在基礎教育階段，怎樣才能讓學生從容、嫻熟地解答數學拓展題呢？

一、善於發現數理規律，訓練抽象邏輯推理。

在一次閱卷中，發現有這麼一道填空題「30個7相乘，尾數是（ ）。」沒想到竟然有很多學生填「0」。這可能是他們把「30個7相乘」與「30個7相加」混淆了。這是一種概念性錯誤。另一種錯誤是：他們即便理解了「30個7相乘」，卻在短時間內得不出確切答案，原因是「7的30次方算結果不容易，自然其尾數也難以在短時間內明確」。從這一現象分析，不難看出，這些學生不善於發現規律，數理邏輯推理能力尚屬薄弱環節。

像以上這類數學命題，在初中階段是常見的，在小學階段出現也不足為奇。它主要是測試學生歸納推理的抽象思維能力。而這一點，正是學生所缺乏的，也是我們數學教學所忽略的。

學生不能發現「由4個7相乘尾數是1作為一個循環節」的規律，也不能由此推理出「28個7相乘尾數仍然是1」，從而得出「30個7相乘尾數是9」的結果。或者由「4個7相乘尾數是1」推理出「10個7相乘尾數是9」，從而得出「凡是整十個7相乘：十位上是奇數的，尾數是9；十位上是偶數的，尾數是1」這樣一個普遍規律。

從某種意義上來說，善於發現數理規律、運用邏輯推理，是解答數學拓展題的一種技巧。同樣一個知識點，學生都懂都會，但如果不善於發現規律，不善於邏輯推理，知識點也就成了盲點，不能運用。解答數學拓展題，關鍵是創造性解題思路，是「柳暗花明又一村」的解題情境。

在以往的教研活動中，我也談過，數學教學光靠「直觀」、「圖示」，直奔答案，是很難給學生一個數學抽象思維訓練機會的。它們只能作為輔助手段，切不可成為依賴，以免使學生養成思維惰性。這也是我不主張學生過早接觸方程的原因所在。

前不久我在「教育在線論壇」發了一個帖子，題為「這位研究生正是應試教育的產物」。原文如下：

「有名研究生在天涯社區發帖，說由於一再被小學四年級的數學作業題難倒後，他向教育部有關部門投遞實名信，反映情況，認為題目超出了四年級知識範圍，並提出自己的建議。（此內容還被選錄在教師繼續教育的教材中）

「我們不用討論他的問題，先來看看究竟是一道什麼樣的算術題，難倒了我們這位當代研究生：有一項工程，某工程隊第一天做了一半少1000米，第二天做了剩下的一半多1000米，這時還剩下3000米，問：此工程共有多少米？

「這位研究生認真思考的結果是用了兩種方法來解答的，一種是方程法，另一種是圖示法，他認為不適合四年級同學。

「我們來分析一下這道題：（1）條件「第二天做了剩下的一半多1000米，這時還剩下3000米，」其實就是告訴我們：第一天做後，剩下的一半是（1000+3000）米。那麼第一天做後，剩下的就是（1000+3000）×2=8000（米）。（2）條件「某工程隊第一天做了一半少1000米」，那麼剩下的8000米就比這項工程的一半多1000米。這項工程的一半就是（8000—1000）米，此工程共有（8000—1000）×2=14000（米）。」

思考這道題的關鍵就是理解「一半」的概念，這是小學生從整數學習到初步認識分數的溝坎，也是培養學生數理邏輯思維的淺顯嘗試，學生的智力就是在這種嘗試和訓練中不斷形成和發展起來。解題並不是目的，重要的是數學思維析理過程。

這位研究生所用的「方程法」和「圖示法」，固然求得結果，但卻失去了認識、理解和運用分數的抽象思維訓練過程。他把解題尋求答案當作唯一目的。這對於基礎教育階段的數學教學來說，是不可取的。

可見，在基礎教育階段，數學教學培養學生善於發現數理規律、提高抽象邏輯思維能力顯得多麼重要！

二、靈活遷移知識點，有效促進思維變通。

解答數學題，我們的思路往往受到經驗的約束。老師怎麼教的，書上怎麼說的，學生就怎麼做。對於那些沒有練習過的、沒有遇見過的題型，常常束手無策。要拓展我們的解題思路，首先要摒棄經驗，靈活遷移知識點，有效促進思維變通，從多角度去分析題目的外延條件，尋求解題的優選辦法。

例如，有這樣一道題：「給你四張牌，分別是3、3、8、8，每個數隻準使用一次，請算出結果是24。」由於常常習慣使用整數運算思維定勢，不習慣把分數或小數運算知識融入其中，這樣就無法得出結果。像「用1、5、5、5四個數算24」也同樣如此。這些在整數範圍解決不了的數學問題，在分數或小數範圍卻能夠迎刃而解。

再比如，這道題：「在一個12時計時的鐘面上，時針與分針每次重疊時的準確時刻是多少？」表明上看，這是個純粹的時間問題，但要解決這個問題，我們卻要把它轉化為「追擊問題」，解答起來比較方便。如果把分針轉一圈速度看成「1」，時針速度就是「1/12」。那麼，分針和時針重疊時間就對應它們「距離差/速度差」，即：

第一次重疊時間是：5/（1-1/12）=60/11（分），也就是1點60/11分；

第二次重疊時間是：10/（1-1/12）=120/11（分），也就是2點120/11分；

...... ......

第十一次重疊時間是：55/（1-1/12）=60（分），也就是12點整。

善於遷移知識點，避免思維的定勢和僵化，可以有效促進我們思維變通，靈活解答貌似「迷霧重重」的數學問題。

三、解答分數應用題關鍵是建立「已知量與分數的對應關係」。

分數問題歷來是我們學生學習數學比較棘手的問題。這主要是緣於分數的抽象性和關聯性相對於整數來說，其組成比較複雜，其內涵比較豐富。分數應用題數量關係千變萬化，如何讓學生在這些錯綜複雜的分數應用題面前保持清醒頭腦？教學生面面俱到去一一分析和適應各類題型？顯然，工作量巨大，學生負擔太重，其效果也是事倍功半。

無論哪種類型的分數應用題，其中的數量關係，最終都應歸結到「已知量與分數的對應關係」來解決。以下列舉幾道題例，具體加以說明：

例1、商場將某一單價為650元的商品提價40%，後來為促銷，又降價40% 。現在該商品的單價是多少？

分析：這兩個「40%」對應的整體量是不一樣的。前一個是提價前的40%，後一個是提價後的40% 。雖然幅度相當，但由於整體量的不同，它們的對應量也不同，提價與降價的實際金額也就不同。

提價40%後的商品單價：650×（1＋40%）=910（元）。

降價40%後的商品單價：910×（1－40%）=546（元）。

（拓展思考這樣一個應用數學問題：「房價漲幅不得超過當地人均收入增長幅度」，你認為這種提法是「關懷民生」嗎？）

例2、今年華蕾年齡是爸爸的2/7，18年後，華蕾年齡是爸爸的1/2 。今年華蕾和爸爸年齡各是多少歲？

這道題如果用二元一次方程組來解，似乎比較容易。那麼，該不該嘗試用算術方法來解答呢？我說完全有必要，這對於學生進一步理解分數、運用分數、提升數理邏輯推理能力是有益的。

分析：今年和18年後華蕾和爸爸年齡都是變化的量。2/7對應的單位「1」是今年爸爸的年齡，1/2對應的單位「1」是18年後爸爸的年齡。是什麼量把這兩組變量聯繫起來的呢？是「18年」。兩組變量的差（也就是父子倆的年齡差）沒有變。如果我們把父子倆的年齡差看著單位「1」，那麼就可以建立起兩組變量與父子年齡差的關係。

以華蕾年齡的變化來解：

今年華蕾年齡是年齡差的2/（7－2），即：2/5 。

18年後華蕾年齡是年齡差的1/（2－1），即：1倍。

為什麼會造成這種差異呢？父子倆的年齡差沒有變，是因為華蕾年齡增長了18歲，導致華蕾年齡與父子年齡差的倍數關係發生變化。

即：父子年齡差=18÷[ 1/（2—1）—2/（7—2）]=30（歲）。

今年華蕾年齡=30×2/（7—2）=12（歲）。

今年爸爸年齡=12÷ 2/7=42（歲）。

以爸爸年齡的變化，同理也可解得。

四、把握已知條件，領悟解題方法，逐漸形成技巧。

數學解題技巧是通過對一些典型性試題的解答逐步形成的。有些題型，如果光從題面上看，很容易引導你步入歧途，或者讓你走些彎路。

下面這道題很有意思：

「從山這邊翻越到山那邊，路程是10千米。如果上坡速度每小時2千米，下坡速度每小時2.5千米，去時花了4小時24分。照這樣的上下坡速度，返回需要多長時間？」

學生遇到這種題，一般會不加思考地採用二元一次方程組來解答，先求出去時的上下坡路程各是多少，然後再計算返回去時上坡變成下坡、下坡變成上坡所需要的時間。解答這道題，難道真的需要這樣去想嗎？我們能不能換這樣的思路：

翻越這座山，往返一趟，上、下坡路程各是10千米。

那麼，返回需要的時間就是：

10/2＋10/2.5－4.4=4.6（小時），即：4小時36分。

比較這兩種解題方法，顯然，後一種要簡便得多。後一種解題方法的採用，主要是把握住「往返一趟，上、下坡路程各是10千米」這一題面背後的隱性條件，才能使看起來複雜的問題簡單化。

再看這道題目：在圖中（見圖），CA=AB=4釐米 ，△ABE比△CDE的面積大2平方釐米 ，求CD的長。

分析：從題目已知條件和圖形來看，與要求的問題聯繫很隱秘。怎樣把「CA=AB=4釐米」這個條件有效利用起來，是解題關鍵。

我們來作連接A到D的虛線AD，我們會發現：CA是△ACD和△ABD的高。AB既是△ABE的底，也是△ABD的底；CD既是△CDE的底，也是△ACD的底。△ABE比△CDE的面積大2平方釐米， 那麼，△ABD比△ACD的面積也大2平方釐米，因為△AED是它們的公共部分。

無疑，這條虛線使得這道題的已知條件與問題關係，變得清晰起來。同樣，通過連接B到C的虛線BC，也可以解答這道題。

學生通過解題領悟解題方法，才能逐漸形成解題技巧。嫻熟的解題技巧是遊刃有餘駕馭所學知識，自如啟動有關知識點的儲備。隨著知識的不斷豐富，隨著解題技巧的日臻成熟，學生的抽象邏輯思維能力會逐步提升，他們的數學綜合素質也會不斷提高。