已知函數f（x）=lnx+a/x（a＞0）．
（Ⅰ） 若函數f（x）有零點，求實數a的取值範圍；
（Ⅱ） 證明：當a≥2/e，b＞1時，f（lnb）＞1/b．
解：（Ⅰ）法1：函數f（x）=lnx+a/x的定義域為（0，+∞）．
由f（x）=lnx+a/x，得f'（x）=1/x-a/x2=(x-a)/x2．…
因為a＞0，則x∈（0，a）時，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．…
當x=a時，[f（x）]min=lna+1．…
當lna+1≤0，即0＜a≤1/e時，又f（1）=ln1+a=a＞0，則函數f（x）有零點．…
所以實數a的取值範圍為（0，1/e]．…
法2：函數f（x）=lnx+a/x的定義域為（0，+∞）．
由f（x）=lnx+a/x=0，得a=﹣xlnx．…
令g（x）=﹣xlnx，則g'（x）=﹣（lnx+1）．
當x∈（0，1/e）時，g'（x）＞0； 當x∈（1/e,+∞）時，g'（x）＜0．
所以函數g（x）在（0，1/e）上單調遞增，在（1/e,+∞）上單調遞減．…
故x=1/e時，函數g（x）取得最大值g(1/e)=-1/e·ln(1/e)=1/e．…
因而函數f（x）=lnx+a/x有零點，則0＜a≤1/e．…
所以實數a的取值範圍為（0，1/e]．…
（Ⅱ）證明：令h（x）=xlnx+a，則h'（x）=lnx+1．
當0＜x＜1/e時，h'（x）＜0；當x＞1/e時，h'（x）＞0．
所以函數h（x）在（0，1/e）上單調遞減，在（1/e,+∞）上單調遞增．
當x=1/e時，[h(x)]min=-1/e+a．…
於是，當a≥2/e時，h(x)≥-1/e+a≥1/e．①…
令φ（x）=xe﹣x，則φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
所以函數φ（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
當x=1時，[Ф(x)]max=1/e．…
於是，當x＞0時，Ф(x)≤1/e．②…
顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立．
故當x＞0，a≥2/e時，xlnx+a＞xe﹣x．…
因為b＞1，所以lnb＞0．
所以lnbln（lnb）+a＞lnbe﹣lnb．…
所以ln（lnb）+a/lnb＞1/b，即f（lnb）＞1/b．…
考點分析：
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．
題幹分析：
（Ⅰ）法一：求出函數f（x）的導數，得到函數的單調區間，求出f（x）的最小值，從而求出a的範圍即可；
法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的範圍即可；
（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通過討論a的範圍，根據函數的單調性證明即可．