八、九年級:旋轉圖形中的全等與相似

各個學校陸續期中考試，壓軸題也成了每個學生和老師津津樂道的題型。之前咱們已經分享了五套期中考試試題，錯過的同學看下方連結↓↓↓

期中考試試卷3：七、八、九年級 試題分享（附答案）

期中考試試卷4：七、八、九年級 試題分享（附答案）

今天我們只做一件事情，看看近期出現的旋轉全等與旋轉相似題型，分別是

20年鐵一九年級第一次月考壓軸、20年愛知九年級期中考壓軸和18年工大九年級期中考壓軸，適用於八年級（接觸過相似的同學）和九年級的同學，其中鐵一這道題已經在群裡講過了，我們今天在回顧一下~同學們，接題~

老規矩，同學們先自己做一下，然後在看我的解析，需要電子版的同學加我微信免費獲取。

20年鐵一九年級第一次月考

25．（3）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=90°，若BD=2BC，判斷線段AC、AD、CD的等量關係並證明。

這個題和咱們八上勾股定理講義上一道題很類似，只不過那個題只有旋轉的全等，沒有出現旋轉相似，有興趣的同學可以看看這道題，本文就不過多介紹了。

我們回到上題，題中有等邊AB=BC，也有一個定角90°，所以按照我們之前的思路，等邊定角考慮旋轉，可以將△ABD繞點B順時針旋轉，使得AB與BC重合，得到下圖：

圖中黃色三角形和綠色三角形就是我們所說的旋轉全等，對應邊、角都相等。AD=CD'、∠ADB=∠CD'B等。

利用飛鏢模型轉換：

由∠ABC+∠ADC=90°

得：∠DBD'+∠BDC+∠BD'C=90°

得：∠DCD'=90°

得：CD²+CD'²=DD'²

題中所問的是AD、CD與AC的關係，而我們找到的是AD、CD與DD'的關係。不難發現，只要我們找到AC與DD'的關係，這道題就迎刃而解了。

這個就是我們本次內容的重點，旋轉相似。旋轉過後，我們得到了兩個等腰三角形：△BAC與△BDD'，而且他們的頂角相等，那麼這兩個等腰三角形相似。如下圖：

在這裡我提問一下，這兩個相似三角形的相似比是多少？同學們看看題，有個條件是BD=2BC，那麼可得相似比為1:2，也就是說DD'=2AC，根據剛才所得的勾股定理：CD²+CD'²=DD'²可得CD²+AD²=(2AC)²，展開即可得答案：

CD²+AD²=4AC²

20年愛知九年級期中考試

25．（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=2/3AC，∠DAB+∠BCD=90°，BC+CD=8，求BD長的最小值。

大家發現了吧，和上面那道題圖形一樣，題幹幾乎一樣，但是問的是有關最值問題。

那是那句話——等邊定角考慮旋轉，將△DAC繞點A順時針旋轉，使得AD與AB重合，得到下圖：

由上題可得△BCC'為直角三角形，且同樣有旋轉相似——△ADB∽△ACC'，且相似比為2:3，所求的BD與CC'的比為2:3.那我們只用求出CC'的最小值即可。

我們來看Rt△BCC'（下圖），BC+BC'=8，求CC'的最小值。

很顯然，根據勾股定理可以表示CC'²=x²+(8-x)²。通過配方可得當x=4時CC'取得最小值。

18年工大九年級期中考試

25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°．

（2）如圖，O是BC中點，OG⊥AE於G交AD延長線於F，求證：∠AFB＝90°．

（3）如圖，在（2）的條件下，連接CF，取AC中點H，連接HG並延長交CF於M，交BF的延長線於K，若∠FMK＝2∠MFK，FC＝8，求KM．

這個題咱們換一種方式去解析，由於△ABC是等腰直角三角形，O為斜邊BC中點，那麼連接AO後，會把原等腰直角三角形分成兩個小的等腰直角三角形，即為△AOB與△AOC，如下圖：

而題幹中我們可以得到△AGF也為等腰直角三角形，注意！這個等腰直角三角形與左邊的等腰直角三角形AOB朝向一致，都是點A為45°頂角，底角左邊都是45°，右邊都是90°，可以看成兩個相似的等腰直角三角形，或者理解成將△AGF繞點A順時針旋轉，並把邊長擴大一定的倍數得到△AOB，也就是我們說的旋轉相似，看圖：

而這個圖我們發現也類似於我們初一講的手拉手模型，也就是我們把兩個Rt△的直角邊AG與AO放在一起，斜邊AF與AB放在一起，則構成了手拉手相似模型，且相似比為AG：AF，AO：AB，正是等腰Rt△的直角邊與斜邊的比例1：√(2)，則手拉手相似出現，看圖：

得到相似了，就有對應角相等，即∠AGF=∠AFB=90°，第二問得證。

而第三問是在第二問的基礎上作圖，由於∠DAE=45°，∠AFB=90°，不難構造等腰Rt△。延長BF與AE相交與點H，如下圖：

而我們現在構造的這個等腰Rt△AFH與第二問中的右邊等腰Rt△AOC形成旋轉相似，我們同理可以構造手拉手相似三角形，如下圖：

即△AOF∽△ACH，相似比也為1：√(2)，易得∠AHC=∠AFG=45°，∠FHC=90°。

剩下的思路就與相似有關了，H為中點，G為中點，則HG為中位線，則M也為FC中點，FM=MC，且HK//CH，則△FMK為直角三角形，利用題幹條件∠FMK＝2∠MFK可得，Rt△FMK為含有特殊30°角的直角三角形，所求MK也就是30°角所對的直角邊，等於斜邊FM的一半，可求的MK=2.

同學們回看一下工大這道題，一左一右的兩個等腰直角三角形，分別與我們構造出的一左一右的兩個等腰直角三角形相似，形成手拉手模型，經典！圖形放一起欣賞下：

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