前言：中考高頻考點系列是筆者根據近兩年中考的趨勢及熱點，結合《新課標》的要求，對中考經常出現的題型，進行了歸納總結，要想在中考時取得好成績，這些都是必須要掌握的知識。
本篇重點講解「等腰三角形的存在性問題」。（已推出的旋轉結構、直角結構、中點結構、半角結構、一線三等角模型等內容，請關注「胡不歸數學課堂」查看）
等腰三角形的存在性問題一直是近年中考熱點之一，常出現在綜合題中，屬於難度大知識點覆蓋面廣的一種題型，常用的解決方法有以下三種：
方法一：幾何法「兩圓一線」
如下圖，已知點A、B和直線l，在l上是否存在點P，使以A、B、P為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，有幾個符合條件的點P？
方法：分別以點A、B為圓心，以線段AB長為半徑作圓，然後作AB的中垂線，兩圓和中垂線與l的所有交點即為P點，共5個，如下圖所示：
方法二：「分情況討論法」
題中給出的條件不明確，哪個是三角形的腰無法確定，這時要分不同情況求解，表示出三角形三個頂點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，分三種情況討論：①AB＝AP；②BA＝BP；③PB＝PA，分別列方程解出坐標。
方法三：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關係求解。
在實戰中，找點的位置和個數適合用第一種「兩圓一線」法，第二、三種方法更適合求點的坐標。
我們來研究今年山西的一道中考題：
（ 1） 求 A、 B 、C 三點的坐標；
（ 2） 試探究在點 P 的 運 動 的 過 程 中，是 否 存 在 這 樣 的 點 Q，使 得 以 A ，C ，Q 為 頂 點 的 三 角 形是等腰三角形 .若 存 在，請直接寫出此時點 Q 的 坐 標； 若 不 存 在，請 說明理由.
解析：
第一問令y=0，求出方程的兩個根，即可得到A、B的橫坐標，進而可求得點A、B的坐標，令x=0，得y=-4，即可得到C點的坐標，答案為：A(-3,0)，B（ 4，0），C（ 0， -4）.
第二問求點的坐標，不妨選擇「分情況討論法」，解答如下：
依題意分3種情況求解：
反思：「分情況討論法」的解答過程中，要經常用到勾股定理，甚至是兩點間距離公式，提醒大家注意。
下面再舉幾個例子：
【典例1】在平面直角坐標系中，如下圖，O為原點，已知A（2，-1），P是x軸上的一個動點，如果以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，那麼符合條件的動點P的個數為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：求點的個數就用「兩圓一線」法，很容易得到答案，如下圖所示，符合要求的P點共有5個。
反思：等腰三角形存在性問題，根據點的特徵又可分為「兩定一動型」和「兩動一定型」，「分情況討論法」是通用的一種求解方法，而「兩圓一線」更適用於「兩定一動型」的求交點位置或個數的問題。
【典例2】如下圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P、Q分別為AB、BC上的動點，PB=CQ=x。求：當x為何值時，△PBQ為等腰三角形？
解析：本題是兩個動點（P和Q）一個定點（B），需分3種情況討論：
① 當BP=BQ時，易得4-x=x x=2.
② 當PQ=PB時，如下圖，過點P作PM⊥BC於點M，易證△BPM∽△BAC，再由相似比可算出答案。
③當QP=QB時，如下圖，則由△BQM∽△BAC可得答案。
反思：當有兩個點是動點，一個是定點時，需要分3種情況討論，此時一般考慮後兩種方法，而作等腰三角形底邊的高，由 「三線合一」走相似路線一般很好使。
求解點的坐標過程中，往往要用到勾股定理或者兩點間距離公式，甚至要用上「若兩直線垂直則斜率的積為-1」 得到答案 ，而這些知識課本上是沒有的，其實中考最後的壓軸題一般不需要過程，只需求出正確的答案即可，因此，如果作為學有餘力的同學，可以拓寬視野，適當掌握一些有用的公式，也是必要的。
以下是坐標系背景下的求解題可能用得上的3個公式，供參考：
① 線段的中點坐標公式：如果線段AB的兩個端點坐標分別為 （x,y）,(x,y) ，中點M的坐標記作（x, y）,則x =1/2(x＋x)，y =1/2(y＋y) 即線段的中點坐標等於它的兩個端點坐標之和的一半；
②若直線y=kx＋b與直線y＝kx＋b互相垂直，則有k·k=－1；
③兩點間距離公式：設A（x,y）,B(x,y)是平面直角坐標系中的兩個點,則
【精品練習題】
1、如下圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=10，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，若△BPQ是腰長為5的等腰三角形，則滿足題意的點P有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
2、已知：如下圖，線段AB的端點A在直線l上，AB與l的夾角為60°，請在直線l上另找一點C，使△ABC是等腰三角形．這樣的點有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3、如下圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．動點Q從點A出發沿AC向終點C勻速運動，速度2cm/s；同時，點P從點B出發沿BA向終點A勻速運動，速度1cm/s.求當t為何值時，△APQ為等腰三角形？
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標。
【答案】
1、B
2、B（注意：特殊三角形作兩圓一線時，有些點是重合的）
3、當t為1s或9/8s或15/17s時，△APQ為等腰三角形.
（2）方法一：分別以點B、C為圓心，線段BC長為半徑作圓，交對稱軸於點P2、P3、P4、P5，再作BC的垂直平分線交對稱軸於點P1，故符合要求的P點共5個，利用勾股定理及已知的B和C坐標，可求出P2、P3、P4、P5，求P1時需用中點坐標公式，以及兩直線垂直其斜率的積為－1求得。
方法二：通過二次函數解析式求出點B、C的坐標；然後利用勾股定理求得線段BC的長，當△PBC為等腰三角形時，需分PB＝PC，CP＝CB，BP＝BC三種情況討論，得到答案。
綜上，當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為(－1，0)或(－1，√3＋√11)或(－1，√3－√11)或(－1，2√2)或(－1，－2√2 )