【初中數學】初中動點問題案例的製作-單位向量法

2021-02-19 GeoGebra物理數學可視化

肖建偉  2020/5/7

初中數學中有一類問題是動點問題，筆者看到這個問題前後討論得經久不息，最近剛好又掀起了討論這個問題的熱潮。對於這類動點的製作，其實筆者之前早已寫過教程，這次算是蹭個熱點，就將其發布都這裡吧。

本期介紹的是一種比較簡單、通俗易懂的方法-單位向量法，請看以下例題：

△ABC為一直角三角形，BC=4,AC=3,點D、E是三角形上的兩個動點。其中，點D沿C-A-B方向運動，速度為1.5個單位/秒；點E沿C-B-A方向運動，速度為2個單位/秒。當兩點相遇時，它們同時停止運動。請繪製出D、E兩點，及△CDE的面積與時間t的關係圖像（軌跡）。

以下是效果演示：

 

（1）計算動點跑完全程所用的時間T：

T= (a + b + c) / (1.5 + 2)

（2）建立控制運動時間的滑動條t。t的最小值為0，最大值為T，增量取合適的值

輸入指令：

單位向量(a)

單位向量(b)

單位向量(c)

以上得到的三個向量分別記為u、v、w（請留意向量的方向），如下圖：

輸入指令：

如果(t ≤ b / 1.5, C + 1.5t*v, A + 1.5 (t - b / 1.5)*w)

解析：b/1.5（路程/速度）是點D走完CA段所需要的時間，當t≤b/1.5時，點D在CA上運動，並且走過的路程為1.5t，所以點D的位置可表示為C +1.5t*v；當t>b/1.5，點D在AB上運動，在AB上走過的路程為1.5(t - b / 1.5)，所以點D在AB上的位置可表示為A + 1.5 (t - b / 1.5)*w。

輸入指令：

如果(t ≤ a / 2, C - 2t*u, B - 2 (t - a /2)*w

解析：指令的理解同上，唯一的區別是，上述指令中出現了負號，這是因為運動方向與單位向量的方向相反的緣故，這點應該是很好理解的。

（1）繪製△CDE，記為t2

（2）以t為橫坐標，t2為縱坐標描點，得到點F：（t,t2）

（3）構造點F對t的軌跡，輸入指令：軌跡(F, t)

當然，第（3）步得到的軌跡是靜態軌跡，若想繪製動態軌跡，請參考前面的推文：【文章教程】GeoGebra動態軌跡的實現方法（滑動條控制類型）

至此，以上課件就製作完成了，本文源文件可到https://ggb123.cn/m/ecsqugms 下載。

總的來看，單位向量法運用起來是非常簡單且意義明了的，對於在線段、折線、多邊形等直線類型的幾何對象上的動點，都可以採用單位向量的做法。

思考與實踐：如果點D運動到點A時暫停2秒，你能把這個案例製作出來嗎？

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