教學研討| 5.7三角函數的應用(2019版新教材)

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數學教師必備 | 手機版《高中數學教學手冊》 

一、教材分析

教材截圖

（考慮到研討時部分教師未帶有2019版課本，這裡對教材截個圖）

教材分析：

    教科書專門設置「三角函數的應用」一節，目的是加強用三角函數模型刻畫周期變化現象的學習.這是以往教學中不太關注的內容.

     本節選擇了4個具體實例介紹三角函數模型的應用：彈簧振子問題，交變電流問題，溫度隨時間呈周期性變化的問題，港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題.前兩個實例中的模型是物理學中比較理想化的模型，後兩個實例中的模型是現實生活中僅在一定範圍內呈現出近似於周期變化的模型。教科書在素材的選擇上注意了真實性和廣泛性，引導學生通過解決有一定綜合性和思考水平的問題，培養他們綜合應用數學和其他學科知識解決問題的能力.

     由於實際問題常常涉及一些複雜數據，因此要鼓勵學生利用信息技術處理數據，包括建立有關數據的散點圖，根據散點圖進行函數擬合等.

    1.問題1的教學

    問題1是研究彈簧振子（簡稱振子）隨時間呈周期性變化的問題，題目給出了某個振子在完成一次全振動的過程中，時間t與位移y之間的對應數據，並要求根據數據確定這個振子的位移關於時間的函數解析式。學生可以根據已知數據作出散點圖，並由數據表和散點圖得到振子的位移關於時間的函數解析式。

振子的運動原理是教學的一個難點.在教學前，教師可以讓學生查閱資料，了解振子的運動原理.在教學中，教師可以利用物理學中的課件使學生有直觀的感受，從而突破難點.

    在此問題的基礎上，教科書聯繫其他類似彈簧振子的運動給出了「簡諧運動」的概念，並介紹了簡諧運動的函數模型y=Asin（ωt+φ）中參數A，ω，φ的物理意義.

     2.問題2的教學

      問題2是研究交變電流i隨時間t變化的問題.題目給出某次實驗測得的交變電流i隨時間t變化的圖像，並要求學生求交變電流i隨時間t變化的函教解析式，以及當t取特殊值時交變電流i的值。

     教學中可以引導學生觀察圖象，並由圖象得到i=Asin（ωt+φ）中參數A，ω，φ的值，進而求出當t取特殊值時交變電流i的值。

     3.例1的教學

    例1是研究溫度隨時間呈周期性變化的問題，題目給出了某個時間段的溫度變化曲線，要求學生求這一天的最大溫差，並寫出曲線的函數解析式。其實就是利用函數的模型（函數圖像）解決問題（求這一天的最大溫差），並根據圖象建立解析式

    第（1）小題，雖然也可以先求出函數解析式，再根據解析式來解決這一問題，但不如直接根據函數圖象看出結果方便.

     第（2）小題的函數模型類型已經給出，只要用待定係數法求出解析式中的未知參數，從而確定其解析式，其中，A為最大值減去最小值的差的一半；ω是利用半周期為（14-6），通過建立方程得解；φ可以利用特殊值求得.

      4.例2的教學

      例2是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題。這個問題只給出了時間與水深的關係表，要想由此表直接得到函數模型是很困難的.

     教學中，可以引導學生將表中的數據輸入信息技術，畫出它的散點圖，然後觀察散點圖，選擇恰當的函數模型.

      需要說明的是，建立數學模型解決實際問題，所得的模型是近似的，並且得到的解也是近似的，這就需要根據實際背景對問題的解進行具體分析.本題的解答中，給出貨船的進、出港時間，一方面要注意利用周期性以及問題的條件，另一方面還要注意考慮實際意義，例如，由模型解出的凌晨進港時間約等於0.3975時，如果考慮到安全因素，在稍後的0.5時，即0時30分進港是合適的。正因為有這個考慮，所以教科書在例題的後面給了一個「思考」。實際上，在貨船的安全水深正好與港口水深相等時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發動螺旋槳.

     【以上大部分內容選自《普通高中教科書教師教學用書數學必修第一冊》，版權歸原作者、原出版者所有，摘錄、轉載是為沒有帶紙質用書時研討使用。】

一、課程目標

1.了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，並會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題.

2.實際問題抽象為三角函數模型.

二、教學重點、難點

重點：用三角函數模型解決一些具有周期變化規律的實際問題。

難點：用三角函數模型解決一些具有周期變化規律的實際問題。

三、數學學科素養

1.數學抽象：實際問題抽象為三角函數模型問題；

2.邏輯推理：運用三角函數解決問題；

3.數據分析：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數學關係來建立數學模型；

4.直觀想像：由圖像求函數關係式；

5.數學運算：實際問題求解；

6.數學建模：體驗一些具有周期性變化規律的實際問題的數學建模思想，提高學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力.

四、教學過程：見《研討素材三》