一以貫之－完形構造法例析（續）

2020-09-03 教學課堂

面對謎一般的難題，如何才能自然、輕鬆地找到解決的辦法？

什麼是自然？習慣成自然。

什麼叫輕鬆？自然才輕鬆。

會駕駛汽車的人開起車來輕鬆自然，因為開車的操作模式已經成習慣動作了；而新手剛開始駕車則會望而生畏倍感困難。

什麼是習慣？

就是一以貫之的思維模式和行為方式。

完形構造法是對幾何問題思考策略的一種概括，是一種思考問題的模式和方向。

所以它可以一以貫之，統領一切幾何構造的思路和方法。

前文有述，關於旋轉變換的共性條件特徵：共點等線。

這就是此類問題的「一」。這個「一」可以應用於「一切」同類問題。

再以下例說明之。

例.已知兩個等腰直角ΔOAB和ΔOCD中，∠AOB=∠COD=90°，E是BC的中點，試探索線段OE與AD的數量關係和位置關係。

思考1：圖中沒有與OE、AD有關的數學模型，必須構造。

思考2：不容易看出現存數學模型時，採用「變形法」。

思考3：由「E為BC中點」判斷可以把E點所在三角形進行旋轉或縮放變換。

思考4：由「AO=BO、CO=DO「判斷可以把它們所在三角形進行旋轉變換。

自然的想法：

（1）OD逆時針旋轉90度得OC，把OD所在的ΔAOD一起轉過來看看？

（2）OA順時針旋轉90度得OB，把OA所在的ΔAOD一起轉過來看看？

（3）OC順時針旋轉90度得OD，把OC所在的ΔBOC一起轉過來看看？

（4）OB逆時針旋轉90度得OA，把OB所在的ΔBOC一起轉過來看看？

（5）CE繞點E旋轉180度得BE，把CE所在的ΔCOE一起轉過來看看？

（6）BE繞點E旋轉180度得CE，把BE所在的ΔBOE一起轉過來看看？

（7）CE以點C為中心放大2倍得CB，把CE所在的ΔCOE一起放大看看？

（8）BE以點B為中心放大2倍得BC，把BE所在的ΔBOE一起放大看看？

（9）ΔBOC與ΔAOD兩組邊相等，但不全等，因夾角互補而不相等：∠BOC+∠AOD＝180°，構造出∠BOC或∠AOD的鄰補角是不是就容易得到全等三角形了？

看出上述想法的思維模式嗎？

後面的變換方法都是依據前面的已有條件得到的，不是空穴來風無中生有的。

我們需要改變的是，從運動變換的角度來看已知圖形。

解法1：ΔAOD繞點O逆時針旋轉90度至ΔCOF，OE為中位線，得OE=1/2CF=1/2AD。

此法亦可看成：ΔBOE以B為中心放大2倍得ΔBFC。


解法2：ΔAOD繞點O順時針旋轉90度至ΔBOF，OE為中位線，得OE=1/2BF=1/2AD，導角易證OE⊥AD。

此法亦可看成：ΔCOE以C為中心放大2倍得ΔCFB。


解法3：ΔBOC繞點O順時針旋轉90度至ΔFOD，OE&39;=1/2AD。

解法4：ΔBOC繞點O逆時針旋轉90度至ΔAOF，OE&39;=1/2AD。


解法5：ΔCOE繞點E旋轉180度至ΔBFE，得OE=1/2OF=1/2AD。

此法亦可看成：ΔAOD逆時針旋轉90度再平移至ΔOBF。


解法6：ΔBOE繞點E旋轉180度至ΔCFE，得OE=1/2OF=1/2AD。

此法亦可看成：ΔAOD順時針旋轉90度再平移至ΔFCO。

上述幾種方法看似不同，其實為一，即以共點為中心以等線為對應邊進行旋轉變換。

本題條件結論不變，把等腰直角三角形位置轉動，得下圖即為黑龍江鶴崗市2017年中考題。


你能快速找出同上六種不同方法嗎？

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