思維教學（一）：比標準答案更好的解法

2020-09-09 教學課堂

今天做了2018連雲港中考卷，評講第26題時，學生提出了比標準答案更多更好的方法，我也作了適時的總結歸納，同學們對函數與圖形問題的解法有了進一步的認識，下面呈現主要評講過程.

師：陸遊曾對兒子說「汝果欲學詩，功夫在詩外」，知道是什麼意思嗎？

生：要想學寫詩，功夫要放在詩的外面。

師：這是字面意思，想想看，詩外指的是什麼呢？

生：應該是豐富的生活經驗、獨特的思考感悟之類.

師：我想改成「汝欲學解題」，下一句應該是什麼？

生：功夫在題外.

師：題外有什麼？

生：思考策略和思維方法……

師：若改成汝欲學數學，功夫在什麼？

生：……

師：功夫在思維呀！好了，看題.

題目：如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m（k＜0）與y2=ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接寫出這兩個二次函數的表達式；

（2）判斷圖形ABCD是否存在內接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABCD上），並說明理由；

（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標平面內，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應頂點）的點E的坐標．

師：第（1）問報個答案略過.第（2）問的思路與方法是什麼？

生：利用函數表達式設點坐標，再用點坐標表示線段長，然後根據正方形的邊長關係建立方程求解，有解則存在，無解則不存在.

師：這個正方形的位置有什麼特徵？為什麼？

生：各邊與坐標軸平行。因為正方形與拋物線都是軸對稱圖形，所以可判斷整體也關於y軸對稱.

師：是啊，在坐標系中我們最喜歡的就是這樣與坐標軸平行的線段，為什麼呀？

生：因為這樣的線段可以直接利用坐標來表示長度，也可以轉化成坐標.

師：如何判斷是否存在內接正方形？

生：設出點坐標，再表示出正方形邊長，由正方形邊長相等建立方程，若方程有符合題意的解，便存在，若無便不存在.

師：第（3）問是什麼樣的問題？已知什麼？求什麼？

生：已知一個確定的三角形，求另一個三角形與它相似，所求三角形已有兩點確定，一個點的對應關係確定.

師：那就是已知三角形兩點，求第三點，所求三角形能確定哪些數量？

生：一組對應邊已知，所以相似比確定，可求另外兩邊長度，三個角大小也確定，但另外兩邊和兩角對應關係不確定.

師：需要分類嗎？如何分類？

生：當然需要，只有一點的對應關係確定，另外兩點分別有兩種對應關係，而且還要考慮到每種對應在已知邊的兩側各有一點.

師：說說具體解法.

生1：先求最簡單的一點，當DE1與DC對應時，由∠ADE1=∠BDC=∠ADO知E1點在y軸上，列比例式求DE1=2.5，可得E1點坐標為（0，－0.5）.再把E1點沿AD翻折至另一側得E2，易知∠E1AE2=90°，構造K形全等容易求出E2坐標，如圖，E2（1.5，－1）.

師：此法甚妙，在E1點的基礎上求E2點坐標，藉助一個直角構造K形全等達到改斜歸正的效果，直接秒殺了E2點.這個解法比教輔書上提供的標準答案簡單多了，你可以寫一套更好的試題解析了.

師：還有兩個點坐標怎麼求？

生2：換個對應關係，當DE3與BC對應時，由∠DAE3=∠BDC=∠ADO知AE3與y軸平行，AE3=2.5，易得E3（1，－2.5），同樣再把E3點沿AD翻折至另一側得E4，易知∠E3DE4=90°，構造K形全等同理得E4（－0.5，－2）.

師：若∠BOC不是45度這種解法還能行麼？該怎麼辦呢？

生3：由對稱關係得AD垂直平分E1E2，可以構造直角三角形和相似三角形，再求E2點坐標，如圖，藍色、黃色三角形都是直角邊為1:3的三角形.

師：還有不同的想法嗎？

生4：E2和E4點與AC構成平行四邊形，求出E2後根據平行四邊形的頂點坐標關係可求E4的坐標.

師：誰還記得平行四邊形的四個頂點坐標有什麼關係？寫出關係式.

生5：相對頂點坐標之和相等，E2（1.5，－1），設E4為（m，n），則m+1.5=0+1，n-1=0-3，得E4（-0.5，-2）.

（我看了看《江蘇13大市中考數學試卷》答案解析，發現書中提供的第（3）問解法是最複雜的……，算了，這種解法不用再說了）

師：我們從整體看四個點的位置和四個三角形的特徵，換個角度看，這是一個什麼問題？

生：……

師：四個三角形的形狀大小什麼關係？

生：全等.

師：由於所求三角形的形狀大小確定，且有兩點確定，那麼第三點的位置有幾種情況？它和我們以前在全等三角形中做過哪種作圖題實質是一樣的？

生：有四種情況，相當於已知一個確定的三角形，以一條邊為公共邊作全等三角形，像下圖，已知△ABC，作△ABC的全等三角形△ABD.只要畫出一個三角形，其它三角形都可以通過翻折、旋轉得到.

師：本題運用的方法策略有哪些？

生：【定變分析】，利用相似關係看所求三角形能確定哪些數量和位置；【改斜歸正析】，向坐標軸作垂線構造直角三角形和相似三角形；【分類討論】，按對應關係和位置範圍進行分類；【移花接木】，藉助前面已得結論或方法解決後面問題；【方程解析】，設出點坐標根據圖形中線段關係建立方程求解……

題目雖有種種不同，知識方法可歸為一，諸法歸一，一以貫之，則能化難為易，化昧為明.

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