本文出自數學家阿哈羅尼（Ron Aharoni）《小學算術教什麼，怎麼教》一書。
他用一些例子，講述了數學的美麗之處，讓我們窺探到數學之美的秘密。
如果答案不漂亮，我知道一定是錯的。
——富勒
在二年級班上，我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法（這方法我們會在乘法意義那章講到）。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒，然後低聲說：「真美。」
去問數學家數學這行到底什麼地方吸引他，十之八九會回答是「美」。雖然數學在日常生活中有用，但是對研究數學的人來說，那卻不是數學的本質，他們會認為數學的主要特徵在於美。發現數學真理會得到回報，但研究數學的人主要意在追求美感的滿足。數學會跟美有什麼相干？數學這麼幹冷的題材，與藝術蘊含的美，會有什麼可能的關係？
說到這裡，不免要回到「美到底是什麼？」這個人盡皆知，既困難又錯綜複雜的問題，也許唯有數學這位不請自來的賓客，能幫我們找到答案。因為在數學裡，對於美的意義可說具有共識：當某個概念引進嶄新而未曾預料到的元素，好像從無中生有時，數學家就會感覺很美。發明用十進位記數法來組織數的人，毫無疑問會感受到強烈的美感，而首先發現把數上下排列，或許就可能相加在一起的人，也必然獲得美感的滿足。
天堂裡偉大的書
有名的匈牙利數學家艾狄胥（ Paul Erds）經常提到，「天堂裡偉大的書」其中包含了對每個定理而言最漂亮的證明。我相信許多人會同意，那本書的第一頁應該是歐幾裡得對質數有無窮多的證明，它不僅是目前已知數學裡最漂亮的證明，也是最古老的證明之一。
不能被1之外的整數整除的數叫質數。例如，2是質數，3與5也是質數，4就不是質數，因為它能被2整除，任何整數都能寫成質數的乘積（那些質數並不必然相異：例如4就是2乘2），而開頭的五個質數分別是2、3、5、7、11。
當然不會是最後一個質數，例如13就是更大的質數。歐幾裡得宣稱，他能證明有比11大的質數而不需要知道那個數是多少！想法很簡單，看看頭五個質數的乘積2×3×5×7×11，結果是2310。當然這個數分別會被2、3、5、7、11除盡，於是把1加進2310得到的2311，就不會由這些數整除（如果一數被2整除，它的下一個數就不會被2整除；如果一數被3整除，它的下一個數就不會被3整除，如此類推）但是像任何數一樣，2311要被某個質數整除，但是前面已經說過2、3、5、7、11都不能整除2311，所以在這些質數之外，一定還存在其他的質數。
同樣的論證可以應用到開頭的100個質數，所以我們其實已經證明了，對任何質數而言，一定存在比它更大的質數。於是，質數必然有無窮多個！
這個證明具有雙重之美。首先，把開頭的質數起來再加1，這個想法看起來像是「無中生有」。其次，這個間接證明法表示有更大質數的存在，但卻不需明確指出是哪一個。
「知而未嘗知」
然而，我們還沒有挖到事情的根源——美感是因何而興？以藝術來說，引進未曾預期的概念並不必然導致美感！舉例來說，數學之美會與詩詞之美或音樂之美有關係嗎？
想要理解這種關係，讓我們考量一下詩中隱喻的威力。隱喻之美來自間接的訊息，也就是雖未明言卻已表達的訊息，聽者不需要直接面對。例如下面採自《聖經，雅歌》的隱喻：
不要因日頭把我曬黑了，就輕看我。我同母的弟兄向我發怒，他們使我看守葡萄園；我自己的葡萄園卻沒有看守。
（第1章第6節）
最後一行話裡的隱喻暗藏簡單的訊息，然而讀者可以暫時假裝沒有識破，把它當成真的在講沒有看守好葡萄園。
到底這裡發生什麼事？正如在數學裡「從別處來的概念」突然出現——但出現的是葡萄園而非其他奇怪的訊息。結果，我們在某個層次上接受了訊息，在另一個層次上卻未完全吸收，這就是「知而未嘗知」。同樣的，當意外獲得數學解答時，概念之間過去沒有想到的關聯性，讓我們在某個層次上了解發現的新秩序，而平常的推理工具仍在使用舊概念，是不足以完全理解那個新秩序的。
至於所有類型的美是不是都如此？我相信是如此的。稀有的美在我們眼中多麼奇妙，它包含我們不全然理解的東西。舉例來說，宏偉的景觀會激發美感，就是因為它超出了我們平日知覺的範圍。
數學與藝術
缺乏詩人氣質的數學家不會成為完美的數學家。
——韋爾斯特拉斯
數學與藝術有兩項相同之處：秩序與精簡。如同數學藝術也在尋求世界的秩序，例如音樂是有組織的聲響，繪畫是在視覺世界裡建立秩序。至於精簡方面，例如詩以短小著稱，會把很多想法濃縮到一句話，德文裡把詩叫做 Dichtung，意思是「壓縮」。美國詩人龐德（ Ezra Pound）就把偉大的文學定義為把意義充塞到極致的語言。
這些都與「知而未嘗知」相關。當潛意識感受到秩序就會激起美感。這種感受的模態有兩種可能的解釋：一種是因為秩序來得過分突然，以致尋常的知覺無法配合；另一種是因為過分複雜，以致無法用理智去感知。精簡也會有「知而未嘗知」的作用——概念從眼前飛逝，讓我們來不及抓住。把好幾個意義壓縮到單一語句裡也會發生同樣現象——難以有意識體會出多重意義。
我們在孩童時期學的初等算術，包含了某些有史以來最美麗的數學發現；但是，為什麼多數人看不出它的美麗？主要是因為數學經常是機械式的學習，這樣的過程無法披露其中之美。但是為時仍未晚，能用嶄新眼光看小學數學原理的人，就有能力重新發現它的美。