等額序列支付現值公式(已知A,求P)

    等額系列支付現值公式又稱年金現值公式，其概念為：若已知每年年末償還的資金為A，預期的利率為i，求累計折現值P。其現金流量圖見下圖。該式可通過等額系列支付資金回收公式得到

圖中  年金現值現金流量圖

          i（1+i）ⁿ

    因A=P--------------

           (1+i)ⁿ-1

 

    則

 （1+i）ⁿ-1

P=A------------

 i(1+i)ⁿ

（1）

             （1+i）ⁿ-1

      式中  ------------稱為年金現值係數，它是資金回收係數的倒數，又是一次支付現值係數與年金終

              i(1+i)ⁿ

 

      值係數的乘積，用符號（P/A,i，n）表示。

      式（1）還可表示成

P=A（P/A，i，n）

    稱為簡化式

                     (1+i)ⁿ-1       1          (1+i)ⁿ-1

 (P/A，i，n)   =---------- =-------·--------------

               i(1+i)ⁿ     (1+i)ⁿ          i

 

           =(P/F，i，n)（F/A，i，n）

    按同樣的方式，可以得到資金回收係數等於終值係數與基金存儲係數的乘積。

（A/P，i，n）=（F/P，i，n）·（A/F，i，n）

    以上兩係數均屬於複合係數。在項目評估中，計算經濟指標及進行方案比較時較常應用這兩個公式和係數。

    例1  甲企業持有乙股份公司1百萬股優先股股票，每股金額10元，每年股息為15%，根據安全利率及乙公司的經營風險報酬等，確定折現率為12%（當計算期無限時，稱本金化率），計算未來5年甲企業得到股息的現值，並評估本金化後股票的價格。

    解：甲企業每年分得股息

A=100×10×0.15=150萬元

    則：5年內股息現值可運用（1）式的簡化式，查表求得

P₁=A（P/A，i，n）=150×3.3522=502.82萬元

    當計算期→∞時，股票價格即為現值 P₂，由式（1）可得

    將A和本金化率i代入，可求得股票價值

P₂=150/12%=1250（萬元）

    當已知A、P、i，由公式P=A（P/A，i，n）或A=P（A/P，i，n），可求得動態投資回收期N_d，由式（1）

（1+i）ⁿ-1

P=A-------------

i(1+i)ⁿ

P·i·(1+i)ⁿ=·[(1+i)ⁿ-1]

     A                 P·i

(1+i)ⁿ=----------------=(1- -----------)^-1

  A-P·i                A

    兩邊取對數

                P·i

n·lg(1+i)=-1g(1- --------)

                A

     P·i

1g(1- -------)

     A

n=- -------------

1g(1+i)

（2）

    此處n即為動態投資回收其P_d。

    例2  某公司購買一項技術專利，耗費300萬元，該技術預計每年能為公司帶來80萬元的超額利潤，若該公司所處的行業平均收益率為10%，問投資回收期為多少年？

    解：該案例給出A、P、i，求動態投資回收期。運用式（2）

    300×10%

1g(1- -----------)

                        80             -0.2041

                         n=- --------------------=- ---------------=4.93(年)

                      1g(1+10)           0.0414v