1915年11月25日，36歲的愛因斯坦在普魯士科學院報告了「基於廣義相對論對水星近日點運動的解釋」[1]，接著在1916年第7期的物理年鑑上正式發表了「廣義相對論基礎」[2]一文，對廣義相對論作了系統的闡述，並特別地在B部分把發展廣義相對論所採用的數學工具以最簡單明了的方式(in moglichst einfacher and durchsichtiger Weiser)作了介紹，以免物理學家為了理解廣義相對論還要費心去學習那些數學。這標誌著廣義相對論的誕生。廣義相對論是愛因斯坦歷經七年切磋琢磨而成的純粹理性思維之巔峰之作，其採用的數學工具抽象艱澀，其得出的物理結論出人意料，而貫穿其中的創造者的敏銳直覺更讓人自嘆弗如。在1919年恆星光線經過太陽附近發生彎折的預言被觀測證實以後，愛因斯坦一夜之間成了家喻戶曉的人物，相對論成了艱深學問的符號，而「愛因斯坦」乾脆就是天才的同義詞。
愛因斯坦是20世紀最偉大的科學家，和牛頓一樣是所有時代最偉大的科學家。在所謂的20世紀物理學兩大支柱之中，愛因斯坦獨立成就了一個(相對論，包括狹義相對論和廣義相對論)，並影響和塑造了另一個(量子力學)，這個行止笨拙的教授簡直就是「純粹智慧的化身」。人們對愛因斯坦的讚譽從來都不吝文辭，美國《時代周刊》稱讚他為天才中的天才，只是通過冥想就能發現宇宙並不是如我們所見的那樣。或許楊振寧先生的評價最為專業、中肯:「(愛因斯坦是)一個特立獨行的思想者，無畏、獨立、富有創造性，而且執著。」[3,4]
時光茬蔣，轉眼間廣義相對論已面世百年。廣義相對論和它的創造者一直在影響物理學甚至數學的發展[3,4]。無疑地，對廣義相對論創立百年最好的紀念是學習它從而能從專業的角度去欣賞它;倘若是能掌握它並用之於研究，對於一個物理學習者來說，那該是怎樣的賞心快事。
本文講述一個不專業的物理學習者對廣義相對論及其創造者的禮讚，內容涉及相對論發展的所有階段以及愛因斯坦以外的很多偉大學者。不把愛因斯坦置於一堆天才及其偉大創造的背景之上就無法顯出愛因斯坦是天才中的天才，重要的是廣義相對論也會看似無源之水。沿著樸素的相對論、伽利略的相對論經狹義相對論抵達廣義相對論，一路上的智力風景會讓人驚訝不已。愛因斯坦工作的特徵包括深度、眼界、想像力、執著與獨立性[3,4]，如要深刻理解和學習愛因斯坦的這些偉大品質，閱讀其著作也許才是正確的途徑。
據說物理學開始於~2600年前，米利都學派的泰勒斯某一天突然領悟到自然是可以認識的，而非總是要簡單地把其中發生的一切都歸於神的意志。物理學由此興起，到克卜勒(1571-1630)的時代物理學已經相當成熟，人類通過觀察思考獲得了相當豐厚的力學、光學和天文學知識。一個值得注意的事實是，人們觀察自然現象時多是以自身為參照點的;就關於更廣大的宇宙圖景來說，地心說是觀察者將觀察者的腳下作為參照點的自然而然的結果（對於那時的人類來說，有別的選擇嗎？）。
克卜勒1601年自第谷手中繼承的行星軌道觀測數據就是以地球為中心的，若將火星的軌道畫出來，大致上如圖1所示。對這樣的軌道要想給出一個簡明的數學描述，太挑戰人的數學才能了。將參照點移到太陽上，重新計算的火星軌道看起來則是一個簡單多了的閉環。克卜勒嘗試用卵形線去描述這樣的火星軌道，在一番失敗以後，他於1605年引入了橢圓軌道的概念，這構成了所謂的克卜勒第一定律。注意，克卜勒第二定律是1602年就被發現了的。
將一組觀測數據換個參照點重新計算，其不言而明的假設是這並不會帶來所關切之現象背後物理規律的改變。若將物理規律寫成F(x,λ)=0，λ代表除位置坐標x以外的任何變量，參照點改變對應的物理規律不變性意味著對於任意的x0，F(x- x0, λ)=0成立。這個位置坐標的平移變換對應的不變性，即空間沒有擇優的起點，應該算是最初的、樸素的相對論，對應佛家智慧的「無去來處」。關於位置坐標的平移變換，在複雜一些的晶體對稱群和伽利略群/洛倫茲群中都是出現的(前者的位移是離散化的有限值，後者的位移是連續的)，只是很少被特別強調而已。
如果說物理規律相對於觀察點移動的不變性有些抽象的話，放在具體的物理現象中去考察就容易理解的多。比如由等量正、負電荷組成的體系，其電偶極矩就與參照點，或曰坐標原點，的選擇無關。
行星軌道之奧秘的破解，關鍵的一步在於默認物理規律和物理現實不依賴於觀察點的選擇。可以理解克卜勒構造出行星運行三定律時的興奮，他得意地暗示他是那個上帝等了六千年才等到的勘破這個秘密的人，並說他的書也許要等一個世紀才能等來它的讀者[5]。
人們在日常生活中還注意到，某些運動是不易覺察的。我國東漢時期的《尚書緯·考靈耀)>中就有句雲:「地恆動不止而人不知，譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而不覺也。」無獨有偶，伽利略在1632年的《關於兩個主要世界體系的對話》中描述他的相對性原理時用的也是大船的例子，不過那船裡的人們有更多的主動探索的成分。若船在水面上勻速前行，船裡的人會看到「水自瓶兒中滴出，魚在缸中遊動，蝴蝶兒在艙中飛舞，一切如常」，也就是說在艙中的人通過對艙內運動的觀察無法判斷船的動靜。此結論對應佛家智慧的「動靜等觀」(圖2)。
伽利略的相對論，用數學語言來說，就是變換r'=r-vt; t'=t不會帶來物理規律的變化，因此我們無從判斷我們是在哪樣的勻速平移運動中。伽利略的相對論是稍後出現的牛頓力學的相對論。牛頓力學的公理包括:1)存在一個絕對的空間（按照彭羅斯的說法，牛頓沒有纖維叢的槪念，他只好求助於絕對空間），在其中牛頓定律成立。相對於絕對空間作勻速直線運動的參照系是慣性系;2)所有的慣性系共有一個普適的時間。顯然，對於形如md2r/dt2=-▽φ(r)的牛頓運動定律，作伽利略變換後其形式保持不變。伽利略相對論是對哥白尼日,Ls說更強的支持，因為在運動著的地球上我們的觀測數據指向(或者說得自)同樣的運動規律。地球是運動的觀點就不是那麼令人難以接受了。
在伽利略相對論中，絕對空間的概念被放棄了。在每一個時刻，都有一個不同的三維歐幾裡得空間，用卡當的幾何語言，伽利略時空是一個基空間為R'(時間)纖維為R3(空間)的纖維叢，不同纖維之間不存在點到點的對應[6]。伽利略時空中的測地線定義了牛頓的慣性運動;粒子加到其它粒子上的力是沒有時間延遲的，即它們總在同一個R3空間內;而物理定律必須是伽利略變換不變的。伽利略相對論中一般性的時間一空間變換可表示為x』=Rx+vt+d, t'=t+τ（此變換中R是描述3D空間轉動的矩陣，它和速度v、空間平移矢量d各有3個自由度，加上時間平移τ，此變換共有10個參數。去除勾速運動項，且若平移矢量d只取一組線性無關基矢的整數倍線性組合，即，這就是晶體的空間群）。注意，質量出現在牛頓力學/伽利略相對論的討論中，但質量是一個孤立的參數。
亞裡斯多德的物理學，克卜勒的行星運動定律，伽利略的相對論，牛頓力學及萬有引力理論，這些還都是離地面不遠的物理學。
狹義相對論發展的主線之一是實用的啟發。巴黎老城區市政廳與巴黎火車站之間時鐘時間的差別對市民來說已是不小的煩惱，而不同火車站之間時鐘時間的差別對德軍參謀總長來說是會耽誤軍機大事的，電報為(粗略)協調各火車站的時鐘時間提供了技術上的可能[7]。催生狹義相對論的現實三要素，火車、鐘錶和電報，在19世紀最後幾年湊到了一起。注意到機械錶都有個調節時間的旋鈕，就不難理解同時性是個值得商榷的概念—絕對同時性的概念被質疑了。
狹義相對論發展的另一條主線是對電磁學理論的深入研究。麥克斯韋在引入位移電流的概念後把電磁學的經驗定律寫成了優美的麥克斯韋方程組，而這個方程組是可以導出波動方程 的。這個方程組暗示了電磁波的存在，且此電磁波的傳播速度 數值上和當時測定的光速接近，讓人不由得猜測光是否就是電磁波。電磁波後來確實在1887年被人為地產生出來了，而光也被確信是高頻的電磁波。一個不易覺察但卻蘊涵一場物理學革命的事實是，電磁波的傳播速度，或曰光速，是從公 計算而來的，它從根源上從來都不涉及任何參照點！對於電磁學的波動方程，歐洲大陸的科學家會象對待任何方程一樣研究它的不變變換，1887年德國人Woldemar Voigt給出了這個方程的不變變換[8]，即所謂的洛倫茲變換， 。這個變換意味著量ds2=-c2dt2+dx2不變和波動方程 形式的不變。值得注意的是，連廣和一時義相對論的關鍵概念「張量」也是Woldemar Voigt提出的。在洛倫茲變換中，v是個參數，經歷用v1和v2的兩次變換等價於 v=(v1+v2)/(1+v1v2/c2) 作一次變換，此即狹義相對論中的速度相加公式，是光速為速度上限的數學基礎。狹義相對論的一個重要結果是質能等價關係 E=mc2——此公式後來成了狹義相對論的符號[9]。
當時光進入20世紀的前幾年，狹義相對論所有元素都已齊備，但是是愛因斯坦將之發展成了基本的物理學原理。愛因斯坦很早就注意到了麥克斯韋電磁理論應用到運動物體上時會顯現出某種不對稱性—磁體靠近導體和導體靠近磁體的描述有不一致的地方。對這個問題的思考不是青年愛因斯坦作為專利審查員閒來無事的消遣。1880年，愛因斯坦全家移居慕尼黑，其父親兄弟倆創立了一個電機廠(Elektrotechnische Fabrik)，製造基於直流電技術的電氣設備。這個廠子到1894年因為直流技術在對交流技術的競爭中失敗而倒閉，但是此時巧歲的愛因斯坦已經從這個成長氛圍中獲得了足夠多的電磁學知識和足夠深入的思考。他注意到了力學與電磁學之間的不協調，以及經典電磁理論應用到運動物體上時的不對稱性。到1905年他的奇蹟年，愛因斯坦應已經思考該問題多年了。
愛因斯坦狹義相對論的關鍵思想是對絕對同時性的放棄以及宣稱相對於任何運動的發射體光速是恆定的且光速是速度的上限[10]。基於這些觀點給狹義相對論或愛因斯坦貼上「革命性」的標籤，愚以為太過了些——愛因斯坦在文章中是用相當委婉的語調闡述其觀點的。
狹義相對論直到閔可夫斯基引人時空的概念才算完成，狹義相對論的時空是四維的閔可夫斯基空間，這個空間是平直的，在其中空間坐標和時間具有形式上的等價性。絕對時間的概念被放棄，時間不再是時空流型的基空間。由於存在光速作為速度上限，因此每一點可到達的物理空間由一個光錐所決定(圖3)。可以把光錐看作是切空間中的結構，那裡光錐被稱為零錐(null cone)。零錐在切空間中是球形的，由方程gμνvμvν=0決定，其中vμ，vν是切空間中的矢量，gμν是閔可夫斯基度規。把有限光速當成基本的物理就是把光錐的結構當成基本的[6]。零錐決定狹義相對論中的因果律。
由電磁學理論而來的狹義相對論，或者洛倫茲協變性，以及由此導出的時空觀念，很容易將電磁學理論(法拉第與麥克斯韋的場論)重新表述。經典的動力學理論也可以加以改造以使其滿足洛倫茲協變性[1,2]，一個典型的例子是洛倫茲力作用下帶電粒子的運動問題。但是，牛頓萬有引力力學不能被納入狹義相對論的框架，愛因斯坦決定將相對論擴展（因此，廣義相對論的英文既有general relativity也有generalized relativity或者generalized theory of relativity的說趁）到引力場。
[I] Einstein A. Erklanzng der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitatstheorie (基於廣義相對論對水星近日點進動的解釋).Sitz. Preul3. Akad.Wiss.,1915. 831-839
[21 EinsteinA. Annaten der Physik,1916,354 (7):769
[3] Yang Chen-Ning. Physics Today,1980, (6):42
[4] Yang Chen- Ning. Studies in the History of Natural Sciences, 2005,24:68
[5] 1#epler 7. Gesammelte Werke(全集).Band 18,C.H.Beck(1937-1969)
[6] Penrose R. The road to reality. Vintage books, 2004
[7] Galison P. Einstein's Clocks and Poincare's Maps: Empires of Time.WW Norton&Company, 2004
[8] Voigt W Gottinger Nachrichten,1887 , 7:41
[9] Einstein A. Annalen der Physik,1905,18 (13):639
[10] Einstein A. Annalen der Physik,1905 ,17 (10) : 891
[11] Weinberg S. Gravitation and cosmology:principles and applica-dons of the general theory of relativity. John Wiley&Sons,1972
[12] Carroll S. Spacetime and Geometry. Addison Wesley,2004
[13] Einstein A. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitaetstheorie (對廣義相對論的宇宙學審視).Sitz. Preuss. Akad. Wiss. ,1917. part 1,142-152
[14] Misner C W, Thorne K S, Wheeler J A. Gravitation.W H. Freeman&Company,1970
[15] Einstein A. Jahrbuch der Radioaktivitat and Elektronik,1908, 4:411
節選自《物理》2015年第10期《廣義相對論——純粹理性思維的巔峰之作》。更多精彩內容進入下方傳送門。