幾個類似的三角形基本模型總結及全等證明

2021-12-12 初中數學解題研究會383701049

幾何裡有一類和直角三角形，等腰三角形，中點，垂直條件相關的模型題，今天試著總結一下，分為三個基礎模型和三個進階模型。難度都不高，但應該比較實用，對學生加深幾何圖形認識很有好處。證明只用全等完成，能力所限每個模型只寫一種證法其餘證法大家可自行研究。

證明：連AD，ASA易證△BDE≌△ADF（或△AED∽△CFD），則有DE=DF，另外此模型還能推一些結論，與主題無關就不詳述了。

證明：延長ED至G使得ED=DG，連CG，SAS易證△BED≌△CGD，此時BE∥CG，∠ACG=90°。且ED=DG，DF為EG中垂線，有FE=FG。∴FC²+BE²=FC²+GC²=FG²=FE²，得證。另外此模型中還有∠EFD恆等於∠B，∠DEF恆等於∠C（即E，F運動過程中△EDF形狀不變），但其證明不屬於全等範疇，不詳述了。

證明：連AD，由△BFE為等腰Rt△與四邊形AFEG為矩形易證BF=EF=AG，則SAS易證△BDF≌△ADG，推角易證∠FDG=90°，故△FDG為等腰Rt△。

證明：將△EGC沿EC對稱得△EHC，由對稱性顯然有DG=DH，由∠BEF=∠CEG=∠CEH知F，E，H共線。延長FD交CH於I，易證△BFD≌△CID，則FD=DI，D為Rt△FHI斜邊中點，則GD=DH=DF，∠EGD=∠EHD=∠EFD，∠FDG=∠FEG

證明：延長GD至H使得DH=DG，易證△BGD全等△CHD，由於FC=FE，CH=BG=EG，∠GEF=∠HCF=90°∴△GEF≌△HCF，FG=FH，又∵GD=DH，三線合一可知GD⊥DF

證明：過B向DE做垂線段BJ，過D向BE作垂線段DI，根據垂心性質，BJ，DI，EG交於同一點，不妨設為EG上的K點。ASA易證△KBD≌△FDC，則BG=DH，GD=HC

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