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在文章 有時間就看一道高考數列題吧中，我們通過一道高考數學模擬題討論了數列通項公式的一般求解方法，昨天晚上，筆者又在「幫幫答」平臺上接到了一單關於數列的題目，想和大家分享一下，題目是這樣的：
同樣，建議先動手做一下，然後再繼續往下看。這道題也是已知數列 {a} 的前n 項和 S 和通項公式 a 的關係。我們很自然地想到用 a = S -S 的辦法消去 S ，得到關於通項公式 a 的關係式，如下所示：
我們能夠得到 a + a =0 或者 a - a -1 =0 兩個解，首先討論一下這兩個解的可行性，因為 {a} 是正項數列，所以 a + a =0 不成立，所以 a = a +1 。這樣，我們就得知了數列 {a} 是公差為1的等差數列，我們求出 a 就可以了，就可以得到通項公式 a ，a 我們直接帶入題目已知的關係式就能求得，過程如下所示 ：
該題第一小問很簡單，關鍵是第二小問，第二小問通過數列 {a} 構造出數列 {b} ，要求我們計算數列的前 n 項和 T ，首先我們將計算得到的 a 代進去可以得到 b ，如下所示：
很明顯，在我們高中生的知識範疇內，能求前 n 項和的無非是等差數列、等比數列，稍微複雜一點的等差數列乘以等比數列（用錯位相減）法，我們仔細觀察上式，可以發現在分母上出現了 n 。所以，無疑用上面提到的這幾種方法都不可行。但是我們還接觸到一種求和的方法，那就是裂項求和，如最常見的數列 {1/n(n+1)} 就可以用裂項求和的方法。所以我們也將這個通項公式化簡一下，裂成兩項或者多項相加。
上面是這道題最關鍵的一步，到了現在，我們就能體會柳暗花明又一村的感覺了。很明顯，我們可以將 T 的中間部分全部消除掉，只留首尾兩部分，很容易算出數列 {b} 的前 n 項和 T ：
小結
高考數學非常靈活，但是絕對不會超綱。所以碰到題目先不要慌，雖然形式上千變萬化，最終都會轉化到我們平時學過的知識範疇之內。就以這道題為例，第一小問很容易想到用 a = S -S 消去 S 得到關於 a 的關係式這種常規思路。第二小問中，雖然數列 {b} 的通項公式形式上沒見過，但是我們可以從我們學過的知識領域內去搜索。很顯然我們只會幾種常見的求前 n 項和的方法， {b} 不是等比數列，也不是等差數列，還不是等差數列乘以等比數列，所以只有通過裂項要麼可以直接將中間項全部消除掉（本題這種），要麼轉化成我們學過的以上幾種方法（等差、等比、等差乘以等比）。
好了，這次就討論到這裡了，最後還是用右手螺旋定則為大家點讚，為即將參加高考的同學麼加油。