小學六年奧數,牛吃草問題的多種不同解法

牛吃草問題

本文將主要從以下個方面講述牛吃草問題：

1，牛吃草及其相關問題

2，牛吃草問題的3種解法

3，牛吃草問題的3種變形

一，牛吃草及其相關問題

1.牛吃草問題的描述

牛吃草問題也稱消長問題或牛頓問題，是偉大的科學家牛頓提出來的，在其著作《算數》中，有這麼一道題目：

有一片牧場，已知牛27頭，6天把草吃光；牛23頭，9天吃光。如果有牛21頭，幾天能把草吃光?

牛吃草問題是小學數學應用題中難度較高的題目，如果沒有了解過，學生們往往束手無策。當然從環保及可持續發展的角度來說，把草吃光可不是個好主意。

2.牛吃草問題的隱藏條件

牛吃草問題中，有隱藏條件，即牛在吃草，草在生長，牛吃草的速度大於草生長的速度，那麼草終究會被吃光。吃草的牛越多，草被吃光花的時間越短。牛吃草問題中的不變量：草地原有草量、牛吃草速度、草生長速度不變。

當然題目中並沒有給出這些信息，這些是我們為了解決問題而做出的合理化假設，把實際問題變成數學問題的時候，我們需要做一些合理化的假設，這也叫建模（建立數學模型）。

3.與牛吃草問題相似的問題

牛吃草問題也稱消長問題，顧名思義，此消彼長。

如果我們把牛吃草看成是牛需要做的工作，牛吃草問題就變成了工程問題。

如果我們把草鋪成一條道路，牛在道路的這頭，道路的那頭的草不停的生長，牛吃草問題就變成追及問題。

同樣類似的，船漏水舀水，閘口放行都可以看出牛吃草問題處理。

了解了什麼是牛吃草問題，我們看如何解決牛吃草問題，本文提供三種解法。

二，牛吃草問題的幾種解法

1，常規算數解法（1個假設，1個核心關係式，需掌握）

假設：一頭牛一天吃掉的草量為1。

核心關係式：牛共吃掉的草量=原有草量+新生長草量

分析：把題目中的已知條件代入關係式，研究各個量之間的關係。

牛27頭，6天吃光，即，27頭牛6天吃掉的草量=原有草量+6天生長草量，代入數據有：

27×6=原有草量+6×每天生長草量..............................①

牛23頭，9天吃光，即，23頭牛9天吃掉的草量=原有草量+9天生長草量，代入數據有：

23×9=原有草量+9×每天生長草量..............................②

比較①②式可知，兩次吃草的時間差為9-6=3（天），總草量的差為23×9-27×6=45，也就是3天生長的草量為45，那麼一天生長的草量為45÷3=15。

根據①式可知：

原有草量=27×6-6×每天生長草量

=27×6-6×15

=72

回歸到問題：如果有牛21頭，幾天能把草吃光?

核心關係式依然成立，直接代入數據有：

21×？=原有草量+？×每天生長草量

21×？=72+？×15

這裡，我們如果學過一元一次方程，我們直接用方程解即可。

如果沒有學過方程，或者掌握不好，可以這麼理解：21頭牛一天吃21份草，而草地每天長15份草，兩者抵消，相當於每天能吃淨草21-15=6（份），草地共有淨草72份，共需吃72÷6=12（天）。

（這裡有沒有熟悉的感覺，72就是追及問題中的追及路程，而21-15就是速度差，牛吃完草的時候就是追上的時候。）

總結：①②式我們稱之為關係式，在工程問題中也可以用類似的方法幫助我們整理思路，而且可以更好的想方程思維過度，幫助學生從整體上把握題目的走向。

牛吃草問題我們這裡不提供任何公式，關鍵需要理清其將實際問題轉化為數學問題過程中做的一些假設，以及基本關係式，這些關係式既有生活常識，也有理性思維，需要保持對生活的觀察和思考的熱情。

方法1的拓展（以下分割線內有能力的學生可以參考了解）

· 利用二元一次方程，部分有能力的學生或許已經接觸過或者有能力接受，當我們把2.1中①②兩式中的「原有草量」用x代替，「每天生長草量」用y代替，則可得二元一次方程：

23×9=x+6y..............................①'

23×9=x+9y............................②'

②'-①'有：

23×9-23×9=9y-6y

y=15,

代入式①'有：

x=72

後面的計算同方法1。

（當然，我們也可以設21頭牛吃完草的天數設為z，在利用一次核心關係式，就變成了三元一次方程，有興趣和能力的同學可以嘗試。）

· 看成追及問題解答

如圖：在前面的描述中，我們已經知道，原有草量可以類比為追及問題中的追及路程，牛在追，草在長。

我們重新設定這道題目：

牛從A地出發，草從B地出發，牛的速度是27，6天追上草；牛的速度是23，9天追上草。當牛的速度是21，幾天追上草？

分析：本題中，牛的速度在變，而草的速度不變，追及路程不變。

追及路程=速度差×追及時間

由3次追及中追及路程相等作為等量關係，有：

（27-V草）×6=（23-V草）×9

（也可理解為速度差和追及時間成反比例）

解方程可得V草，代入追及路程公式可得原有草量，再用公式可得V牛=21時的追及時間。

2，分數解法（基礎較好的同學掌握）

鑑於分數在小學中的重要性，此方法是對分數應用基本功的一種檢驗。小學五六年級，分數計算及應用是核心，單位1的量的又是其中的重難點。所以，牛吃草問題的第二種解法我們從分數的角度來分析求解。

思路1（跟方法1的思路類似）：

設27頭牛6天吃草總量為單位1，則一頭牛一天吃草的量為：1/27×6

23頭牛9天吃草：（1/27×6）×23×9=23/18

23頭牛9天吃草比27頭牛6天吃草總量多：23/18-1=5/18

多出來的恰為3天長出的草量，則每天長草：5/18÷3=5/54

原有草量為27頭牛6天吃草總量為單位1減去6天生長的草量：1-5/54×6=4/9

21頭牛吃完草需要天數：4/9÷（（1/27×6）-5/54）=12（天）

思路2：

設原有草量為單位1，則27頭牛每天吃掉原有草量的1/6及每天生長的草量；23頭牛每天吃掉原有草量的1/9及每天生長的草量。（這部分是關鍵，把時間換算成每天。）

則，27頭牛每天吃掉的比23頭牛每天吃掉的多原有草量的：1/6-1/9=1/18

所以每頭牛每天吃原有草量：1/18÷（27-23）=1/72

那麼27頭牛6天吃原有草量的：27×6×1/72=9/4

比原有草量多（也是6天生長的草）：9/4-1=5/4

則每天生長草：5/4÷6=5/24

21頭牛吃光草需要天數：1÷（1/72×21-5/24）=12（天）

總結：找準單位1的量是關鍵，而且單位1的量必須是常量。

3，反比例解法

設x頭每天吃掉的草剛好抵消掉每天生長出來的草，那麼這部分牛和生長的草我們可以不用再考慮。

此時，原有草量一定，扣除掉用於抵消生長草的x頭牛後，剩餘牛的數量和吃完原有草所花的時間成反比例。

可列方程：(27-x)×6=（23-x）×9

解得x=15

即每天生長出來的草需要15頭牛去吃。

原有草量：(27-15)×6=72

21頭牛中15頭牛吃生長的草，21-15=6（頭）吃原有的草，需要72÷6=12（天）。

總結：此法不容易想到，而且從複雜的關係中找到一個不怎麼明顯的反比例有難度，此方法在方法1的拓展方法，當成追及問題計算的時候也有提到。

不管採用哪種方法，題目的核心沒有變，等量關係也沒有變，具體使用什麼方法，看自己擅長。

三，牛吃草問題的幾種變形

這裡只提供三道練習題，只要能在讀題中發現這是牛吃草問題，就會迎刃而解，很多時候學生往往被題目表面的信息所迷惑，看不出這是牛吃草問題。

練習1：船發現漏水時，水勻速進入船內；如果10人向外舀水，8時舀完；15人向外舀，3時舀完。要求2時舀完，安排多少人?

練習2：在車站開始檢票是，有a名旅客在候車室排隊等候檢票。檢票開始後，仍有旅客繼續前來排隊檢票進站，設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票速度固定。若開放一個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，如果要在5分鐘內將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使後來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口?

練習3：快、中、慢三輛車同時從同一地點出發，沿同一公路追趕前面的一個汽車人，這3輛車分別用6分、10分、12分追上騎車人。現在知道快車每小時行29千米，中速車每小時行20千米，求慢車速度。

牛吃草問題並不是奧數中的難點，但是我們這裡用多種方法解答，主要是為了讓大家對各種方法思路能夠融會貫通，各個知識點能夠聯繫起來看待，比如工程問題、行程問題等都有想通之處。雖然我們的主題是牛吃草問題，但是在學習過程中我們也學到了很多其他的知識，在編制一個屬於你自己的知識網絡。知識點可能會忘記，但是思考問題的方式，思路會一直影響我們。如何在把複雜問題簡單化，如何在眾多信息中把握關鍵點需要慢慢體會。

附阿基裡斯悖論。

阿基裡斯悖論雖然與牛吃草沒有直接關係，但是其中的追及部分也可以理解為消長問題，權當課外閱讀。

阿基裡斯是古希臘神話中的一位驍勇善戰的英雄，全身刀槍不入，諸神難侵，而且非常能跑，但卻跑不過一隻烏龜，這是怎麼回事呢？

公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發表了著名的阿基裡斯悖論。

芝諾做出了這樣的假設：

阿基裡斯的速度是10米每秒，烏龜的速度是1米每秒；阿基裡斯在烏龜身後100米處開始跑。

比賽開始：

1，10秒後，阿基裡斯跑到100米處，烏龜爬到110米處；

2，11秒後，阿基裡斯跑到110米處，烏龜爬到111米處；

3，11.1秒後，阿基裡斯跑到111米處，烏龜爬到111.1米處；

4，11.11秒後，阿基裡斯跑到111.1米處，烏龜爬到111.11米處；

...

如此繼續下去，阿基裡斯永遠追不上烏龜，總是差那麼一點點。

阿基裡斯悖論

上述就是著名的阿基裡斯悖論，顯然這在現實中是不可能發生的，小朋友都知道快的肯定追的上慢的，那麼問題到底出在哪裡了呢？

阿基裡斯悖論與數學中的無窮級數有關，但與現實生活相矛盾，歷史上很多偉大的哲學家、數學家都研究過這個問題，包括牛頓。當然阿基裡斯悖論早已解決，你能不能找出悖論中的矛盾呢？