輔助線構造｜二倍角幾何題型的解題方法思路初探

2020-08-28 Chen城東客

線段的倍分類幾何證明，可以考慮延長與截取。對於二倍角類的幾何題型，也是同樣的思考方向，在實際應用時，構造輔助線添置三角形的做法，還是多些；至於考慮作大角的角平分線，也可以嘗試做做。在不同的圖形構造中，可能有不成功之處，但是對思維的鍛鍊還是有必要的。

如圖，在三角形ABC中，角B=2倍角C，線段AD垂直於BC於點D，若AB=13，AD=12，求三角形ABC的面積？


求三角形ABC的面積，問題的關鍵自然是求底邊BC的長。在直角三角形ABD中，由勾股定理，很快就能得到BD=5，再結合條件角B是角C的兩倍，構造輔助線添置三角形，在線段BC上找點E，使得角CAE=角C，這樣就構造出三角形ACE，很快就知道角AEB=2倍角C。從而得到三角形AEB是等腰三角形，所以AE=AB=13，到這裡，線段BC的長度很快就求出是23。


若考慮作角B的平分線，相關邊的條件比較分散，不易求出BC的長。作為一個思考方向，也可以適當考慮也未嘗不可。

如圖，三角形ABC中，點E在邊AC上，EB=EA，角A=2倍角CBE，CD垂直於BE的延長線於點D，BD=8，AC=11，求邊BC的長？


直角三角形BCD中，已知BD=8，求斜邊BC，由勾股定理可知，就是要求直角邊CD的長。方向明確後，關鍵是倍角關係的使用，添置輔助線CF構造等腰三角形BCF，這樣就構置出倍角關係，得到角CFD=角A，到這裡，相關條件還略顯分散了些。


此時，考慮過C點作CG平行於AB，交BD延長線於G點，就顯的「柳暗花明又一村」的思維境界，使相關條件緊湊於一起。由邊角關係，得到等腰三角形ECG、FCG，再結合已有的等腰三角形EAB、FBC，得到線段BG=AC=11，DG=DF=11-8=3，BF=CF=CG=5。從而在直角三角形CDG中，由勾股定理，得到CD=4，最後在直角三角形BCD中，由勾股定理得到BC=5倍根號4。


在此題中，充分利用等腰三角形中的邊角關係，做足了文章，思維也有廣度，不愧是個好題，提升了輔助線作法的思考深度。

相關焦點

  • 分享:八年級幾何證明難題中輔助線的實戰運用,輕鬆掌握解題思路
    相比於七年級的幾何證明題，八年級的難度會有所提升，除了相關的知識點更多以外，需要構造合理的輔助線是解決這類題型的一大難點，為了幫助大家更好地理解輔助線在解題中的運用，本文就例題詳細講解這類題型的解題思路，希望能給即將迎戰期末考試的同學們帶來幫助。
  • 初二數學難題,老師分享:構造軸對稱圖形的輔助線作法和解題思路...
    軸對稱圖形的性質在幾何證明和計算題中的應用相當廣泛，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路和輔助線作法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。例題1如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△ABC的外角平分線AD於點D，垂足為E，DF⊥AB於點F，且AB>AC，求證：BF=AC+AF。
  • 初中幾何專項講解——平行四邊形的構造及解題思路
    幾何是初中數學學習中的一個重要內容，也是一個難點，題型多注重考查學生的邏輯思維能力。在做幾何題的時候，我們需要通過多條輔助線，甚至要自己畫出整幅圖幫助解題，所以構造經典幾何圖形的方法是非常重要的。本篇內容主要講解關於如何通過構造平行四邊形解幾何題的方法，並通過例題掌握好方法！通過構造平行四邊形，可以將多個關聯較少的線段連接在一起，適於證明兩邊之和大於第三邊之類的題型。
  • 「全等三角形的證明」常考題型及解題思路淺析
    「三角形」是初中幾何的重要圖形之一，也是考試的難點。部分同學甚至對相關題目產生畏懼心理，沒有解題思路，最終只能空著。今天我就來帶同學們一起回顧一下「全等三角形的性質及其判定」，通過上面課標的要求和教材安排，進一步了解該類題型常做的輔助線有哪些，希望能幫到大家。一起欣賞一下吧！
  • 初中幾何常見輔助線之口訣,實用(角平分線)
    一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鑽研，找出規律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對摺看，對稱以後關係現。解題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
  • 初中數學:怎樣添加二倍角問題的輔助線
    一些幾何題中常含有一個角是另一個角的二倍的條件，處理這類問題常用如下的方法添加輔助線：（1）作二倍角的平分線，構成等腰三角形.如下圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分線交AC於點D，則∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.
  • 角系列之構造二倍角、半角
    既有構造相等角的，也有在這個問題上再進行加工的，比如，在坐標系中構造已知角的半角或二倍角，角可以單獨出現，也可以存在於某個幾何圖形中，因此，構造半角、二倍角的方法也並不唯一，常用如下：思路1：構造半角三角函數．構造二倍角三角函數：
  • 二倍角在平面幾何中的應用(一)
    說起二倍角，相信很多同學在幾何證明題目中遇到過。其考查方式比較靈活，遇到二倍角時，應該如何作輔助線，如何思考和聯想，這對多數同學而言是有難度的。當然，二倍角的處理其實是有方向可循的，一般常用的方法是直接構造等腰三角形、對稱法構造等腰三角形、作角平分線、藉助直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半進行轉化，當然這麼一說明顯方法也很多，而且還有一些題目不在上述方法之內的，明顯有難度。
  • 中考倒計時梳理系列一:幾何證明計算題的解題思路,助力數學中考
    幾何證明計算題是數學中考的必考項目，很多考生感覺在這類題型上失分太多，在中考倒計時階段，為了幫助大家減少中考中的失分項，本文重點講解幾何證明計算題的解題思路和注意事項，希望能給大家帶來幫助。因此畫圖對於不提供圖的幾何證明計算題來說至關重要，只有畫出符合題意的圖，才能正確解題。
  • 八年級幾何輔助線模型之「角平分線四大模型」模型三
    上幾篇文章已經分享了角平分線的前兩種模型，一是向角的兩邊做垂線，另外一個是在角的一邊截取構造全等三角形，實現線或角的轉移。今天就要分享的是角平分線的第三種模型，就是利用等腰三角形的「三線合一」的性質，來構造全等三角形，將等腰三角形的和角平分線的模型聯繫在一起。
  • 中考數學題,老師解析:合理添加輔助線構造全等三角形的解題思路
    輔助線在幾何證明題中的應用相當廣泛，合理添加輔助線可以把看似複雜的證明題變得相當簡單，本文就例題詳細解析合理添加輔助線構造全等三角形的解題思路，希望能給初三學生的複習備考帶來幫助。1、證明：△BFC≌△DFC根據角平分線的性質和題目中的條件：角平分線把一個角分為相等的兩份，CF平分∠BCD，則∠BCF=∠DCF；根據全等三角形的判定、題目中的條件和結論：兩組對應邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，BC=DC，∠BCF=∠DCF，CF
  • 動點產生的二倍角或半角存在性解題攻略
    以前文章裡介紹過動點產生的等角存在性或正切定值存在性解題攻略，感覺難度比較大了，關鍵是要構造正切線。這段時間，結合其它地區中考模擬情況，在二次函數背景下動點產生的二倍角存在性問題較多，關於二倍角問題，在幾何模型裡有過介紹，就是構造等腰三角形，藉助這種形式，在二次函數背景下，需要構造倍角或者半角問題，然後，轉化為求正切定值存在性問題，難度又進一步增加。
  • 初中數學:19種有關三角形的輔助線方法歸納,結合例題實戰演練
    初中數學：有關三角形的輔助線方法歸納，共是19種類型，結合例題實戰演練，適合想要提升自己解題能力的同學。輔助線的使用對大部分初中同學來說是難以逾越的一條鴻溝，難度大，無從下手已經成為常態，今天唐老師帶大家一起搞定三角形有關的輔助線使用方法。
  • 二次函數點與角存在性問題的解題方法,同樣適用於反比例函數
    二次函數幾何綜合的各類題型中，點與角的存在性問題是出現頻率最高的一類題型，最通用的解題方法是：用代數論證方法，通過求點所在的直線解析式，解聯立方程求某點的坐標，在求直線解析式時，一般都需要在這條直線上尋找第三點，可能是隱藏的，也可能是通過構造「一線三垂直」模型確定的。
  • 二倍角和半角問題在初中數學中的構造
    在初中數學中，我們經常會遇到二倍角問題和半角問題，這類問題，如果通過題目中的數量關係來推導時，有時過程可能比較複雜，今天我們來分享一種利用幾何關係構造二倍角和半角的方法
  • 全等三角形證明方法歸納,典例詳解幾種輔助線做法,含思路分析
    全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，同時能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關係和大小關係．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．在證明的過程中，注意有時會添加輔助線。以下通過典型例題的方式詳解五種常見輔助線的做法。
  • 初中數學幾何培優：此題難以適應適合學生訓練，求角的正弦值
    部分內容：倍角問題：有倍角出現，通常構造等腰求解倍長中位線，直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半，都是常規思路。手拉手旋轉：手拉手模型初中解題常見，通常有等腰會想到構造全等，進行線段或者角的轉化。隱含特殊角：此類題只有通過已知條件找到特殊角才能輕鬆解題
  • 小學數學:五大經典幾何圖形及解題思路,簡單實用,乾貨滿滿!
    練習題上的題型和課本上的題型根本就不一樣，似乎考查的知識點是一樣的，可就是做不出來。尤其是幾何圖形，雖說小學階段的幾何圖形題並不複雜，可不了解該類題型的常見命題思路和模型，沒有掌握一定的解題思路，小小「幾何」一定會成為你「學霸」衝關路上的一隻「攔路虎」！下面林老師將帶領同學們一路「過關斬將」，幫你輕鬆拿下小學幾何圖形！
  • 初三數學 中考複習幾何方法訓練 通過平移構造輔助線讓你快速解題
    而在幾何證明中，做輔助線構造相應的圖形則是很重要的方法。那麼今天在這裡呢，分享通過平移構造輔助線來解決幾何問題。方法歸納求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形.觀察發現問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點M、N.可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN,連接DM,那麼∠CPN就變換到Rt△DMN
  • 初中數學常見輔助線(建議收藏)
    一、中點模型的構造1.已知任意三角形一邊上的中點，可以考慮：(1 )倍長中線或類中線(與中點有關的線段)構造全等三角形.如圖1、圖2所示.二、角平分線模型的構造與角平分線有關的常用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型。