我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統宗》裡有一道著名算題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？
如果譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100隻饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3隻，小和尚3人分一隻，試問大、小和尚各有幾人？
這個問題在小學的課本裡也出現裡，大概是四年級課本的一道習題，屬於雞兔同籠問題的拓展練習，它的解法有很多，常用的有以下五種，今天我們就來分別研究一下：
一、雞兔同籠法
這個方法較為通用，也易於理解，是一種應用較為廣泛的方法，在解決問題時，我們可以先假設全是大和尚，也可以先假設全是小和尚。根據假設找出與實際的差，進而解決問題。
假設法1：
(1)假設100人全是大和尚，應吃饅頭多少個？
3×100=300(個)．
(2)這樣多吃了幾個呢？
300－100=200(個)．
(3)為什麼多吃了200個呢？這是因為把小和尚當成大和尚。那麼把小和尚當成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭？
3－1/3=8/3
(4)每個小和尚多算了8/3個饅頭，一共多算了200個，所以小和尚有：
200÷8/3＝75（人）
大和尚：100－75＝25（人）
假設法2：
假設都是小和尚。
需要吃的饅頭數：
100×1/3= 100/3（個）
比實際饅頭數少：
100－100/3= 200/3（個）
把一個大和尚看作一個小和尚比實際少算的饅頭數：3-1/3=8/3（個）
大和尚的數量：200/3÷8/3 =25（人）
（200/3裡有多少個8/3就有多少大和尚）
小和尚的數量：100－25=75（人）
二、方程法
用方程法解決問題，我們需要設一個未知量為x，另一個未知量可以用含有x的式子表示。因為用到了分數乘法，所以此法適合六年級以上知識水平的學生。
解：設有x個小和尚，則有100 - x個大和尚，則
x/3+3(100-x)=100 兩邊同時乘以3得
x=75
大和尚：100-x=100-75=25
同樣，我們也可以設大和尚有x個，則有100-x個小和尚，計算的步驟相同。
三、放大倍數法
這種方法是將原題中小和尚和大和尚吃的饅頭數都擴大3倍，這樣所吃的饅頭總數也相應擴大了3倍，人數不變，再按照假設法進行求解。
四、平均分配法
其實，我覺得下面這個思路也挺好的：
首先看到題目裡說小和尚3個人吃一個饅頭，如果把所有饅頭都平均地掰成3塊，會不會更容易處理呢？
掰完之後是什麼情況呢？
現在所有饅頭變成了：3*100=300（塊）
每個小和尚需要吃1塊饅頭
每個大和尚需要吃3*3=9（塊）
情況都清楚了，開始平均分饅頭
第一輪，每個和尚分一塊，小和尚都吃飽了，退下
大和尚每人差9-1=8（塊），饅頭剩下了300-100=200（塊）
現在，每個大和尚還需要8塊饅頭，總共有200塊饅頭，剛好夠吃
=>總共有200/8=25（個）大和尚
=>總共有100-25=75（個）小和尚
五、分組法
這種方法又叫做打包法，此方法在計算上相對比較簡單，具體的計算過程如下：
由於大和尚一人分3隻饅頭，小和尚3人分一隻饅頭。我們可以把3個小和尚與1個大和尚編為一組，這樣每組4個和尚剛好分4個饅頭，那麼100個和尚總共分為100÷（3+1）=25組，因為每組有1個大和尚，所以有25個大和尚；又因為每組有3個小和尚，所以有25×3＝75個小和尚這是《直指算法統宗》裡的解法，原話是：
"置僧一百為實，以三一併得四為法除之，得大僧二十五個。"
所謂"實"便是"被除數"，"法"便是"除數"。
列式就是：100÷（3+1）=25，100-25=75。 我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑。
當然，知其然，知其所以然。為什麼要4人分一組，而不是7人、10人分一組呢？這是一個難點，很少見有誰給學生講清楚的。
4人分成一組，可以肯定是不錯的。但有從結論入手的嫌疑，題目當中沒有告訴我們小和尚是大和尚的3倍，這樣分組科學嗎？我們是不是也可以1個大和尚和9個小和尚分成一組呢？
結合題意，我們可以從人與饅頭的比入手。100個和尚分100個饅頭，相當於人均1個饅頭，也就是人與饅頭的比是1：1 ，大和尚與所分饅頭比是1：3，小和尚與所分饅頭比是3：1，在什麼情況下人與饅頭的比能達到1：1呢？根據第二個條件，可以想到1個大和尚和3個小和尚剛好分4個饅頭，如果把他們結合在一起，人與饅頭的比剛好也是1：1，符合這個比了，我們就能把他們看成一組來解決問題了。
其實，分組解法，應該是僅限於上述情況下才可使用，如果不是人均一個饅頭就不好使用這個方法。分組法是把大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個的條件錯誤轉變成了，認為有1個大和尚就會有3個小和尚，增加了大小和尚的比為1：3的條件，導致了解題過程的錯誤。儘管最後答案是對的，其實這是一個巧合，或者說是人為設置得這麼完美。
不信？那試試用分組法解決下題：
如果81個和尚吃了24個饅頭，大和尚每人吃4個，小和尚4人吃一個。幾個大和尚幾個小和尚？