La semplicità è l'ultima sofisticazione.1)
——Leonardo da Vinci
對於真正的知識來說，危害最大的就是使用含混不清的概念和字眼。
——託爾斯泰
不知何時起，筆者經常能讀到關於物理學之簡單性(simplicity of physics)的論說。對於對物理學始終不明所以的筆者來說，這簡單性一說直如五裡霧，讓人一時摸不著頭腦。簡單，單指組成單元只有一個，簡的意思是少、少易，這和德語的einfach (一重)完全一致。英文的簡單是simple， 來自古法語，sim-(one) + plo (fold) 字面上也是「一重」的意思。Einfach (一重)的反義詞是mehrfach ( 多重)， simple (one-fold)的反義詞是manifold。羅素那樣懂哲學拿文學諾獎的數學家兼物理學家擁有manifold wisdom(多重智慧)，一個黑白紅道通吃的精英人們私下裡會誇獎他們是manifold villain (多面流氓)。有趣的是，名詞manifold 現在在數學上變成了一個重要概念，對應德語的die Mannigfaltigkeit 一詞。該詞由黎曼於1854 年引入，那時他指的是嵌入在Rn-空間中的n-重展開的(n-fach ausdehnt)幾何對象。漢譯「流形」不知是否出自譯者的創意。
世界可以是簡單的，但我們對世界的理解可不能滿足於簡單。頭腦簡單的人(simpleton) 是會遭人嘲笑的。伽利略在他的《關於兩種主要世界體系的對話》一書中，給那個為地心說辯護的角色起的名字就是Simplicio。Simplicio， 那就是simpleton，義大利人哪裡會看不出來，所以梵蒂岡的大佬就覺得受到了奚落。伽利略被勒令檢討，而後被軟禁在家，這同布魯諾的遭遇相比，算是撿了個大便宜。國人有嘲弄年輕人too young too simple 的，遂有今日隨處可見的準成語「圖樣圖森破」。數學家用simple，semisimple 修飾的概念，比如李群(Lie group)，一點都不簡單。李群(Lie group)可能是讓許多人都頭疼的概念。李群可根據其代數性質分為simple，semisimple，solvable (可解的)，nilpotent (零勢的)，和abelian(阿貝爾的)。數學家們客氣地稱一類李群為simple Lie group，可它竟複雜得沒有被普遍接受的定義(unfortunately， there is no generally accepted definition of a simple Lie group)！目前，一般認為連通的、非阿貝爾的，其每一個閉合連通的正規子群要麼是單位元(不變操作)要麼就是群本身的那麼一類李群，是simple 的。至於semisimple Lie group， semisimple 就說明它不是那麼simple。Semisimple Lie group 是其李代數為簡單李代數之積的那些李群。
物理學家津津樂道的簡單性原理(the principle of simplicity)，也同樣不易理解？狄拉克1939 年曾有關於數學與物理的關係的文章，論及簡單性和複雜性。數學應用於物理，要求用來表述運動定律的方程形式簡單(數學家會不會認為這是因為物理學家數學懂得少的緣故？)。簡單形式的方程在經典力學中看似很成功， 這為物理學家提供了a principle of simplicity。這簡單性是運動定律的簡單性，可不是物理現象的簡單性。牛頓的引力理論後來為愛因斯坦的廣義相對論所取代。從高級數學的角度來看，愛因斯坦的引力理論比牛頓的要簡單，但這要賦予簡單性特別的、微妙的意義。相對論的數學對大多數人來說還是蠻複雜的，但我們還是需要它，狄拉克把這歸結於其擁有great mathematical beauty：在狹義相對論時空連續統的變換群從伽利略群變成了洛倫茲群，而後者相對於前者是美的。據說廣義相對論比起狹義相對論，美的增加有限。簡單性原則為數學美的原則所取代，這兩者有時是一致的。所謂的數學美，狄拉克似乎是願意將之歸結為變換的美，雖然變換的美也不好定義。不過，數學的美也罷，簡單性也罷，可能不過是那麼一說而已。狄拉克方程(iγ ⋅ ∂ -m)ψ = 0 看起來可簡單了，但人們說它是deceitfully simple或者deceptively simple (欺騙性地簡單)。玻爾茲曼的熵公式S = k logW 也簡單，但懂行的會說it is disarmingly simple ( 致人麻痺大意地簡單) 。這些其實都是委婉的說法， 對於不願深究的人來說，一切都是簡單的。正所謂淺者見淺，深者見深。
Simple， simplex， 字面上是one-plo (一重的)。依此類推，two-plo的是double，duplex，three-plo 的是triple，triplex。單餅是simplex 的，千層餅，應該是milleplex 的(圖1)，而「劉郎已恨蓬山遠，更隔蓬山一萬重」2) 中的一萬重，那應該是decamilleplex 了。Googolplex 的意思是10100-重的。Googol 就是大數10100，10 自乘100 次，其正確的漢譯就應該是「百度(100 次)」。有錢的文盲籤支票時把googol 寫成了google，於是如今就有了google 這個詞。谷歌這個莫名其妙的漢譯怎麼端詳也沒有動詞的意思，所以人們還是說「google 一下」。中文的「百度」，據說是來自「眾裡尋他千百度」，如此說反倒失去了和googol天然的親戚關係。如果只是把一些單元組合到一起(compound)，而不明指多少重，那就是compounded或者complex的。
圖1 單餅，simplex餅；千層餅，milleplex 餅
中文的複雜對應英文的complex和complicate。Complex 來自拉丁文的com+plectere (to weave，to braid，together)，而complicate 來自拉丁文的com+plicare (to weave， to fold，together)。但是complex，作形容詞和名詞， 似乎更多強調是多單元交織在一起的事實， 而complicate，作動詞和形容詞，更多強調摺疊、糾纏到一起的狀態，作形容詞時更多用到的是complicated的形式3)。
一個complex 系統由單元間的相互關聯(inter-dependencies)來表徵，而一個complicated 系統則由其層次(layers)加以表徵。Complex 的用法非常複雜(complicated)。Complex作為名詞在精神分析中指同某個對象相聯繫的衝動、想法和情感的糾纏體，如弗洛伊德的Oedipus complex，榮格的Electra complex，此處complex被譯成情意結4)。有人評《功夫熊貓2》，說「火器來了，功夫走了，天朝大國從此萎靡受氣，在以華洋交惡之後的近代為背景的武俠中，這是一個巨大的腫塊，或曰『 情結』 」， 這情結就是complex。由complex 衍生出名詞complexity( 複雜性)， 和complexion， 而complexion竟然也可以當動詞用， 有complexioned 的說法。Complexion，漢譯膚色、脾氣、性質，但是必須記住它一直是在說所涉及的對象是complex 的(多單元的、多側面的)，比如「put a different complexion on things」首先應該理解為「事物的構成」全變了。這一點，當complexion被用於物理問題時就更明白了， 例如在「each permutation(of 1024 degree of freedoms) still counts as a distinct microstate(『complexion』) of the system with that energy profile.」這句中，體系的微狀態也可以名之為complexion，就是在強調它是由許多單元構成的一個整體；而在例句「…They must have pondered matter's irreducible complexions——its elements ( 他們肯定想到過物質之不可約的構成——它的元素)」 中， 這複雜的complexion 會明確指向元素5)。不過， 相對於complex 的元素還是simplex。龐加萊曾解釋(幾何上)如何從simplexes 構造多維的complexes，他給我們演示了(simplexes)之組裝所依據的規則可以用矩陣來描述。
Complex 作形容詞對應的抽象名詞為complexity。Complicity 雖然也來自complex，但它的意思是團夥犯罪、共謀，不要和complexity弄混了。複雜性問題的研究是當前的科學時尚，有的研究所乾脆就命名為institute of complexity。
Complex 強調複合構造，a system with many parts。所謂的複數，complex number， 就是有兩節的數。如果把複數寫成z = x + iy ， 並且把i 理解為i*i=－1，則相應的x，y 就被理解為實部(real part)和虛部(imaginary part)。由此有人會忘記i不過就是個記號而陷入關於虛、實的蹈虛討論，就不能理解為什麼imaginary number is real (虛數是實的)。認識到complex number 包含兩部分，不妨把它寫成(x，y)，則那個i*i=－1 實際上對應的是這種二元數之乘法規則(a， b)*(c， d) =(ac - bd，ad + bc) 的一個特例(0，1)*(0，1)=(－1，0)而已。
Complex number，或者說binarion，的兩部分是按照一個代數規則粘接到一起的，它就和表示歐幾裡得平面的坐標組合(x，y) 有些區別。最簡單的，z=x+iy 代表的複平面和歐幾裡得平面R2 就不完全是一回事兒。複平面域上的複變函數f (z)=u(x， y) + iv(x， y)， 其解析性的Cauchy—Riemann 條件為∂u/∂x =∂v/∂y ， ∂u/∂y = -∂v/∂x ，從這裡應該看到複數乘法規則的身影。量子力學的波函數， 是複函數，但不是複變函數。有人說「to turn it into the 『real』 world， the norm of the complex number is to be used (為了把波函數帶入真實世界，就用上了複數求模)」，有點太單純(simpleminded)了。複數的各個部分本來就是real 的，就波函數而言，求模也不足以把它帶入真實的物理世界——波函數的詮釋還一直是一些物理學家在忙著的活計。
由complex number中的complex還衍生出動詞complexify 和complexification名詞，光看這字就知道它夠複雜的。在數學上，一個矢量空間的complexification，復化，就是將其從實數域擴展到複數域。Clifford 代數Cℓp，q(R) 的復化得到的是Cℓp + q(C) ， 狄拉克旋量就是Cℓp + q(C) 基本表示中的一個元素。
為了描述一類同complex 有深刻淵源的數學結構，仿照complex number 中complex的意思，偉大的外爾(HermannWeyl)6)構造了symplectic一詞。據說構造symplectic 依據的是希臘語συμ (sym) + πλεκτικός(plektikós)，不過它的拉丁語轉寫也應該是com + plectere，所以可以說complex 和symplectic 就是一個詞。Symplectic 一詞傳入中國，其意思未加辨識，只用「辛」字轉寫了sym- 糊弄了事。筆者初見辛群與辛幾何(辛拓撲，describing the geometry of differentiable manifolds equipped with a closed， nondegenerate 2-form)， 從字面上看是千思不得其解。這樣對付科學的態度，足以解釋此地科學的現狀。
據外爾自述， 他一開始論及line complexes (線簇，線辮？)用的是「complex group」 ， Dickson 則稱之為「Abelian linear group」。Line complexes 是用反對稱雙線性形式為零來定義的，注意上文提及的complex number 是用特殊的乘法定義的。但是，complex group 很容易被認為其隱含著同complex number之間的聯繫，因此外爾才自創了symplectic一詞以示區別。Symplectic聯繫的關鍵詞是反對稱(antisymmetric)，由哈密頓方程而泊松括號，就能建立起哈密頓力學同辛幾何的關係了。
與complex group， symplectic group，有關聯的一個概念是quaplectic group，這是一個和玻恩的互反原理相聯繫的概念，字面上的意思是四綹辮子群7)。玻恩的互反原理要求物理定律在變換{t，e，q，p}→{t，e， p， － q} 或者{t， e， q，p}→{－e，t，q，p}下是不變的。這要求一個由三維坐標、一維時間，加三維動量和一維能量的八維空間。同單粒子的擴展相空間(七維)相比，這裡多了一個能量維。玻恩猜想存在關於這個八維空間之線元的不變性，不變變換構成的群就是quaplectic group。這可同四維時空中線元的變換不變性所對應的洛倫茲群作類比。不過，玻恩的這個方案似乎不成功。
中學時學辯證法，實在不知道所謂的矛盾雙方的辯證關係在說什麼。參詳近年來在物理學文獻中讀到的關於simplicity 和complexity 的論述，恍惚對辯證關係有了點了解。複雜性指其組成部分通過多種方式相互作用(interacting in multiple way)，遵從局域規則，因為沒有合適的高層次的指令定義其中各種可能的相互作用。用大白實話說，就是人們還沒能力，或者還沒找到正確的、關於整體的描述方式。而簡單性， simplicity， referring to simplex，or as a whole，這說明簡單性需從整體層面上去尋求。舉例來說，寶塔菜，如果一點數學不用而只盯著菜頭看，它是complex 的；如果明白其具有自相似結構(self-similarity)，且同一尺度上菜瓣兒的排列方式是斐波納契斜列螺旋花樣(Fibonacci parastichous spirals)，這樣的理解需要兩個看似不相干的概念，就是duplex的；如果有一天我們能將Fibonacci parastichous spirals 和self-similarity從數學上統一了，那寶塔菜的花樣就是simple 的了(圖2)。不過，完美的理想的數學單純地描述的，都不是真實的。
圖2 寶塔菜，romanesco broccoli，乍一看是complex的，懂了自相似和斐波納契它是duplex 的。希望有一天它能看起來是個simplex，是simple的
物理若能上升為規則、定律就是簡單的，但它面對的自然現象是複雜的。這複雜性的源頭在體系之內，把宇宙的無限複雜性歸咎於初始條件的無限複雜性，這樣就將之移出了數學物理討論的範圍，這種作法無助於對宇宙複雜性的認識。物理學是美學簡單性和功能複雜性，其在簡單性和複雜性之間取得微妙的平衡。複雜性並不必然把物理引向死胡同，恰恰是問題的複雜性才使得其解有簡單的途徑(But it is precisely the complexity of the problem that allows a simple approach to its solution) 。這正是對多粒子體系有統計物理的寫照。我們若是弄懂了物理，它就簡單了(Physics must be simple once we understand it all)。物理學家面對自己的研究對象時，常常念叨著簡單性原則而對複雜的現象一籌莫展，這麼多年的超導理論研究大約就是這種局面。沒辦法，物理學確實太難了。不過，有一類人如外爾，就是「能把簡單的事情弄複雜了、把所有複雜的事情弄簡單了的人(the man who makes all simple things complicated and all complicated things simple)」，據說把複雜事情看簡單了是更具有決定性意義的，這可是真本領！要做到這一點，則要能象外爾一樣，總是從根部看問題(always takes up the problem at its root)。誰不想擁有這種本領呢，只是作為這種本領之根基的數學一般物理學家是不具備的，而具有這些數學的數學家如今也是鳳毛麟角，何況他們還遠離物理的世界呢。
1) Simplicity is the ultimate sophistication，據說是達文西說的。此句或對應中文的大道至簡。
2) 出自李商隱的《無題》。這首詩最打動我的一句是「書被催成墨未濃」。
3) 另有一個詞，sophisticated，也被漢譯成「複雜的」。這個詞源於sophistry，聰明人的把戲，sophisticated 可理解為highly complex or refined。
4) Oedipus complex，戀母情意結；Electra complex，戀父情意結。
5) 元素就是元素。不可以急切地將之等同於今天的化學元素。一個complexion 整體不妨礙指向其構成的元素，這是英文的一個優點，一個不同於漢語的地方。
6) 我願不厭其煩地提及偉大的外爾(Hermann Weyl)，是因為注意到外爾的名氣不如愛因斯坦的名氣大可能是因為他的學問比愛因斯坦高很多、也難理解得多的原因。和愛因斯坦一樣，外爾是另一個對相對論和量子力學都有重要貢獻的人。當然，外爾對科學的貢獻不局限於相對論和量子力學這樣不需要多少數學的simple 問題，他還是頂級的數學家。他的文章一般人看不懂，他的名氣不夠大，他本人要負全部責任。
7) 存在辮子群，braid group，的概念。