作者：曹則賢 (中國科學院物理研究所)
中國所譯，又頗難解。……誤解不知其數。
——陳寅恪《與妹書》
一言既流通，今古誰言異1)。
——《古尊宿語錄》
作為幾何對象，比點略微複雜一點兒的是line(線)。考慮到點可能是個抽象的、或許根本不存在的概念，線可能就是最簡單的物理現實了——它的一維延展性讓我們有了感知它的可能。Line 是最簡單的幾何對象，因此不幸地它竟然幾乎是沒定義的，幾何學上會把線當成原始的概念(primitive concept)。提起線，人們首先想到的是直線。直線， 英文的表述有straight line，right line( 法語為la droite)， 等。Rectilinear，直線的，來自拉丁語rectu(德語的recht，英語right)，它帶有動作的意味，如reatilinear motion(沿直線的運動)，optical rectilinear correction(光學直線校正)等。什麼是直線？ 因為line 的概念是原始的， straight line 也不那麼容易定義。直線，若說是不彎的線2)，那要有曲率的定義；若說是兩點之間最短的線，那要先有空間的度規。後一種意義下還不保證直線的唯一。那個被用來證明廣義相對論正確的恆星光線被太陽彎曲的說法，就有了計較的必要——光線的那個給你彎曲印象的路徑才是直的。直線是極限， 是抽象， 曲線(curve，curvy line，curved line)才是更真實的存在。抽象的直線世界比較簡單，可以作為出發點3)。笛卡爾坐標系是直角坐標系，其坐標軸是直線；它雖然問世比極坐標系晚，但我們在中學先學的是笛卡爾坐標系。平直空間也不妨用曲線坐標系(curvilinear coordinate system)，比如橢圓—雙曲線坐標系；而對於彎曲空間的描述，curvilinear coordinates簡直就是必須的。會一些用曲線坐標表示的微分幾何，學廣義相對論就容易些。
給定兩點，在連續的空間中兩點決定一條直線。給定任意的第三點，其幾乎肯定會落在線以外，即其和已有兩點共線的機率(measure)為零。作為三維空間的存在，線狀物捲曲是必然的，植物卷鬚和蛋白質摺疊為此提供了明確的證據。植物的卷鬚(tendril，clavicle)，估計是螺旋線(spiral)研究的靈感來源之一(圖1)。既然一維的物理存在在高維空間中其存在必然是彎曲的，直線和共線性(collinearity)就具有特別的意義。
圖1 植物卷鬚提供了直觀的螺線(spiral)形象
線是生活中常見的事物，因此它必然已經滲透到我們的日常表達中。我們讀一本書，會先瀏覽一下書的梗概(outline)，會關注作者寫作時的思想脈線(line of thoughts)，有時還會試圖於字裡行間理解作者的言外之意(to read between lines)4)。一個非常高明的寫作技巧是所謂的「草蛇灰線，伏脈千裡」，這裡的線、脈，對應德語詞Leitfaden，英文也直接用它，字面意思是導線。圖畫一個事物時僅僅給出其簡略輪廓， 這也是outline。作為動詞，outline 和delineate(給出粗線條的描述)相近。此外，有lineage(血統，血系)的說法，可能是因為用線條表示血緣關係的緣故。
一個空間裡的直線都是等價的。但如果有別的圖形，比如平面上的圓錐曲線，則相對於此圖形不同的直線就有了不同的意義，因而就有了分類和命名。這包括外線(exterior lines)， 搭線(tangent lines，漢譯切線)，切線(secant lines，漢譯割線5))和準線(directrix)。最後一個詞字面上沒有線字。準線directrix是和generatrix 一起使用的。Generatrix6)，也稱generator(生成元)，即那個由directrix 導引著運動的幾何對象。比如拋物線，可以定義為到一定點和到directrix 的距離之比為1：1的點(generatrix，模體)的集合。Parabola，字面意思是說的恰好，指1：1 的距離比，它就沒有拋物的意思，也不含線字。同屬圓錐曲線的雙曲線，hyperbola，意思是說過頭了，字面是既沒有雙字也沒有線字。類似的翻譯很多，比如cycloid，漢譯擺線，還有hypocycloid(內擺線)，epicycloid(外擺線)，其實人家的字面就是一個cycle 添加了一個另類的名詞性詞尾，告訴人們它與圓有關而已。因為一不關心物理圖像，二不求識其字，數學概念的中文翻譯極為不負責任，貽害匪淺。
關於線和線性的問題，是理解物理的初步。牛頓第二定律給出質點運動的方程，接下來玩什麼？自然是如何數學地描述3D 空間中質點可能的運動軌跡，以及如何求解特定的力或勢場下質點的運動，比較著名的例子包括catenary( 懸鏈線。來自拉丁語catenarius， 鏈)，brachistochrone(速降線，字面上是最短時)，isochrones(等時線，字面上是等時)，等等。這些漢譯中的線字都是額外添加的。再者，功的定義為f ds ，這是最簡單的微分1-form，則求沿特定的路徑從一點到另一點所做的功就是線積分(line integral)。在熱力學語境中，其主方程(cardinal equation)是多變量的微分1-form，即Pfaffian form。類似求某個循環過程中熵的變化這類問題，就是線積分。關於線積分的數學知識教得不充分而去糾纏於某個過程中系統和環境各自熵變是多少的問題，無助於對物理學的理解。
若刺激x 和響應y 之間滿足關係y=kx+b，則稱此關係是線性的(linear)，其中y，b 是同類的物理量，而x 是另一類物理量，k 則反映研究對象的內稟性質，如在簡單的胡克定理y=kx 中，k 就是物體的彈性係數；在剛體的定軸轉動問題中，k是轉動慣量。在初等解析幾何中，y=kx+b 的圖像就是一條直線。與線性關係相映襯的是非線性關係，非線性(nonlinearity)當然比線性關係複雜的多，花樣也多得多。y=kx2這樣的含平方項的關係，算是最簡單的非線性了，它竟然就搪塞了對幹涉現象的解釋。除了少數特例，非線性方程是很難找到嚴格解析解的。一個做法是將非線性問題在某些限制下作線性化(linearization)。對電磁學問題的線性化導致了有限元算法從而引發了建築工程上的革命，是無心插柳柳成蔭的絕佳案例。線性函數、線性映射的定義是可加性加上一階齊次性， 即f(x1+ x2) =f (x1) + f (x2) ， f (ax) = af (x) 。如果是兩變量函數具有這樣的線性，那是雙線性的(bilinear)。線性關係表示刺激信號之間沒有耦合。一個數學對象若是能表示成若干個其它數學對象的線性相加，則稱它們是線性相關的(linearly dependent)。若一個空間中的矢量，其線性疊加仍是該空間中的矢量，則該空間是線性空間。流形的切空間，量子力學中自伴隨算符本徵矢量所張的希爾伯特空間，是我們應該熟知的線性空間。線性空間的基，是線性無關的(linearly independent)。
3.1 射線
Ray，漢譯射線，其拉丁語詞源radius7)本意是車的輻條，從中心軸出發，向外延展。數學上，ray 被定義為從一點起始經過另一點無限延伸所得到的對象。若從一點起始作一有限的延展，這就是矢量的形象。Ray，漢譯射線，物理上用來表示從源頭向外radiate 的東西，如rays of light( 光線)， X-ray， γ-ray，cathode ray ( 陰極射線， 即電子)，等等。Ray 的形象正好反映描述運動的速度之矢量性質。注意，直線有矢量定義， 即給定兩矢量a，b，參數方程r= a+ λ(b - a) 描述一條直線。顯然，若λ ∈[0，∞] ，這定義的是一條射線。
3.2 歐拉線
此例就想說明共線是多麼神奇的事情，它至少是我個人數學教育中不足的地方。三角形有一些有趣的心(centers)，比如中心(centroid，算數平均)， 正心(orthocenter)， 外心(circumcenter， 外接圓圓心)，Exeter point，以及九點圓的圓心，都落在一條直線上。這個事實是1765 年天才的數學家歐拉發現的，故被稱為歐拉線(Euler line； la droite de Euler)。有趣的是， 內心(incenter，內切圓的圓心)卻不在這條線上。類似地，還有Simson 線，即對於三角形，其外接圓上任意一點到三邊的三個垂足，是共線的。這個Simon 線簇的包絡， 被稱為Steiner deltoid(三角形)。
圖2 三角形的Euler line，線上的四點在三角形的內部
3.3 包絡線
包絡線，envelope，就是英漢字典裡信封那個詞。Envelope，動詞形式為envelop，包圍、包裹住的意思。Envelope 常被譯成包絡線，這樣一來就失去了強調「包絡、包裹」的抽象意義了，二來否認了其高維推廣的存在，不妥。Envelope也可以是面、體或者更高維的幾何對象，還可以就是包絡這個事實，因此還是簡單地譯為包絡為好。幾何上，對於給定的一個線簇，同線簇中所有的線都相切的那條曲線是這個直線簇的envelope (圖3)。線簇也可以是線段簇，比如連接點(s，0)，(0，t)，其中s2 + t2 = 1 ，的線段簇，其包絡就是四角星形。反過來看，給定平面內曲線y = f (x)上的任意一點，有切線方程y=px+b，其中p=dy/dx， b = y - f (x) 。這樣，你會發現這條曲線有了y = f (x)以外的另一種表達方式，即由y=px+b 表達的直線簇。傳統上，包絡上的點可以看作是相鄰兩曲線的交點，這樣的話，就可以把包絡的概念推廣到面甚至更高維的情形。物理學上，直線簇包絡的思想與勒讓德變換(Legendre transformation) 有關。一般意義上的包絡是理解幾何光學，特別是和caustics(焦)相關的光學內容，的關鍵。物理學上還把envelope 的概念做了意義不是很嚴謹的推廣，比如對于振蕩信號，a smooth curve outlining its extremes(標示極值輪廓的光滑曲線)被說成是envelope(圖4)。
圖3 直線簇及作為其envelope的曲線
圖4 振幅調製的振蕩信號及其envelope
3.4 世界線
World line，世界線，是閔可夫斯基提出的一個概念，是對空間中的閉合軌道(orbit)、軌跡(trajectory)概念的推廣。行星繞太陽的軌道是橢圓，這句話裡不含時間的因素；單位時間內掃過相同的面積才加入了時間的考量，即添加了時間的維度，才能談到時空(spacetime)中的曲線。世界線記錄了一個物體運動的歷史。對於世界線的描述，即4- 維時空坐標的參數方程，x(a)(τ) ，a=0，1，2，3，其中參數τ是世界線的弧長，物理上定義為固有時(proper time)。初學相對論時對用固有時作為時空的參數的做法不易理解，其實用曲線的弧長(arclength)作為參數來寫曲線方程，是微分幾何中對曲線的規則化描述的常規做法，與物理無關。
3.5 測地線
在相對論的語境中，自由落體的world line 是geodesic， 測地線。Geodesic， 來自geodesy， 是一門大地形狀和尺寸測量的學問，和geometry(大地測量術，幾何學)同源， 前綴geo 來自大地之母gaia。Geodesic，漢譯測地線，西文字面沒有線的內容。
一個表面上的測地線是對平面內直線(straight lines)概念在彎曲表面上的推廣。這類線的概念可以從兩個角度思考：最短的曲線和最直的曲線。所謂最短的曲線，就是其上任意兩點之間的距離都是最短的，物理實踐上可以通過把兩點間的彈性連接的繩子給繃緊了而得到；而直線是說其切矢量是不變的(儘管我們的視覺習慣上將其當成彎的)。平面草坪上兩點的最短線是我們說的直線；如果中間有個水坑，我們會繞過水坑從而讓路徑最短。但這似乎不是符合直線的切矢量不變的定義。光永遠走直線，那麼按說它應該符合彎曲空間中直線的切矢量不變的定義。這應該是構造廣義相對論方程必須納入考量的因素。
3.6 輪廓
Profile， pro+file， 漢譯側面、外形、輪廓等。File，意思是排成一行行，比如walk in a file(排成一對走)或者rank and file(西洋棋棋盤上空格的行與列)，其它的意思如檔案、銼刀等應該都是引申義。File 的拉丁語詞源filum，本身就是thread，line 的意思。而filing，英文有個意思是鋸末，鋸鐵塊得到的iron filing 歷史上恰好是演示法拉第的偉大概念場線(field lines)存在的東西(圖5)。Profile，就是線條圍成的輪廓。動名詞profiling就是畫出一個事物的輪廓，與outline，delineate相近。表面分析從前有個depth profiling technique，即深度(組分)輪廓技術，筆者的博士論文就證明了數學上這是一個條件不足的逆問題，將這個技術徹底否定了。Profile，線條，引申為體型，近義詞有figure ( 德語die Figur)。葡萄牙語formosa8)，應該也是指線條美。
圖5 Iron filing map of the field lines(磁場線的鐵屑顯示)
3.7 漸近線
Asymptote，漢譯漸近線。然而，asymptote 來自希臘語ἀσύμπτωτος，意思是not to fall together，不要碰到一起。據說是Apollonius of Perga在研究圓錐曲線時引入的這個概念，指任何不和作為關注對象的曲線相交的線(line)。漢譯漸近線符合asymptote 的當代意義，但是我們還是應當知道其原意，以免在閱讀某些舊文獻時造成誤解。另外要注意的，asymptote 也不必然是直線(linear asymptote)， 比如對於方程(x3 + 2x2 + 3x + 4) /x 所決定的曲線，拋物線x2+2x+3 是它的asymptote。這種情形是漸進曲線(curvilinear asymptote)， 見圖6。此外， 數學物理上有漸進展開(asymptotic expansion)、漸進自由度(asymptotic degree of freedom)的說法，未知其精髓與漸進的說法相符否。
圖6 曲線(x3 + 2x2 + 3x + 4) /x 的asymptote 是拋物線(parabola) y=x2+2x+3
寫作此文期間，注意到當我們接觸到一些物理概念時，那個物理概念所涉及的數學內容我們常常是略知皮毛，甚至是聞所未聞的。這樣的理解當然是不充分的，而試圖基於這樣的對物理的理解對其有所發展，何其難也哉。可嘆！
後記 此文撰寫期間，傳來我尊敬的學長、著名植物學家鍾揚教授不幸遇難的噩耗，椎心之痛，不能自已。此文零亂，事出有因，盼讀者諒解。
1) 忽悟今日中華大地流通之佛經，多是「堪油撕屁嗑英格利息」之語。那數學呢？物理呢？估計也是「俺把你把迷了哄」。
2) 英國人說同性戀者的性取向是bent(彎的)，則異性戀的男性是straight(直的)，於是有了直男的說法。
3) 抽象的、不存在的概念，比如質點、點電荷、可逆過程等等，反而是建立物理學體系的出發點，有意思。
4) 餘謂讀書有三重境界。一曰識字，能讀懂文本之字面；二曰明察，能識破作者於字裡行間之藏掖；三曰意會，能體會作者通篇未著一字之真意。第三境界適用之作品稀有，《紅樓夢》、《白鹿原》、《笑傲江湖》等可入此列。
5) 顯然這裡的切、割反映不了tangent 和secant 之間的本質區別。Tangent function，secant function 就是我們熟知的三角函數名稱。Secant，segment，都源自saw。
6) Generatrix，漢譯母點、母線、母面，太亂了。其意義應該是motif，不如參照motif譯成模體。
7) Radius 還保留在英語中，被漢譯為半徑了，少了放射狀的形象。此外，它和radix，根，root，是一個詞，由此衍生的重要科學概念是radical。放射狀存在的源頭當然是根，漢語本就有根源的說法。
8) 葡萄牙殖民者曾用Formosa 命名臺灣島。