教學反思:三角形的中線與面積法

教學反思：三角形的中線與面積法

人教版數學八年級上冊第11章第1.2節《三角形的高、中線與角平分線》中，我們對三角形的中線描述是「連接三角形頂點和對邊中點的線段」，這和前一小節中對邊、對角概念的理解提出的要求對應，即學生能識別頂點的對邊，以及邊的對角。定義中強調了中線兩個端點，以及它是一條線段。而三條中線的交點為重心，它在生活中的實際意義，可用「重量的中心」進行解釋。

在教材第9頁的習題第8題，可作為面積法的導例，原題如下：

如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的高AD與CE的比是多少？

引導方法：AB和BC分別是三角形的兩條邊，而AD是CE是兩條高，即AB邊上的高CE，BC邊上的高AD，因此AB和BC的另一個名稱叫底，聯想到三角形的面積計算公式，從而得到

，將兩邊的分數處理掉，便得到面積法的一般結論，即三角形任兩邊與這條邊上高的積相等。

這是面積法的第一層應用，即尋求三角形內某些邊、高之間的數量關係。

第二個導例，則與三角形的中線有關，原題如下：

△ABC中，AD是中線，則△ABD的面積與△ABC面積的數量關係是_____________.

引導方法：由中線AD可知，BD=CD，而△ABD的面積與△ABC的面積計算時，還需要一條高線，不妨作出來觀察，可發現，△ABD和△ABC，分別是BD、BC為底邊，高是同一條線段，因此它們的面積大小關係可得。

以上僅僅是教材本身對中線和面積法的要求，但是略加引申，情況便複雜了起來。

如圖，A、B、C分別是線段、、的中點，若△ABC的面積為1，那麼△的面積為________________

如圖，A、B、C分別是線段、、的中點，若△ABC的面積為1，那麼△的面積為________________

如圖，A、B、C分別是線段、、的中點，若△ABC的面積為1，那麼△的面積為________________

如圖，A、B、C分別是線段、、的中點，若△ABC的面積為1，那麼△的面積為________________

如圖，A、B、C分別是線段、、的中點，若△ABC的面積為1，那麼△的面積為________________

在解這道題之前，有一個鋪墊必須要做，否則學生無法上手，即三角形的中線平分這個三角形的面積。

在講這道題時，學生給出的思路是連接

和

，如下圖：

面對這種較為複雜的圖形，需要引導學生觀察圖形中某三角形的中線是哪條，辯認準確才好進行數量關係的推演。

連接

後，

是△

的中線，同時得到

AB

是△

A

的中線，

是△

的中線，於是我們可得到

，於是

，同理可得

，所以得到△

的面積為

7.

對於基礎較好的學生，理解上述過程並不費力，但對於中等生，觀察圖形方面的確不盡如人意，需要花費更多時間去找三角形面積之間的關係，限於課堂時間有限，實際上每個班仍然大約1-2名中等生未能理解整個過程。

例2 如圖，△ABC中，D、E、F分別是線段BC、AD、CE的中點，且△ABC的面積為4，求圖中陰影部分的面積。

有了前一道例題的經驗，解決本題是順利了許多，首先由中線AD得到△ABD和△ACD的面積為2，再由BE、CE分別是這兩個三角形的中線得到△ABE、△BDE、△CDE、△ACE面積均為1，再將△BDE和△CDE「拼」成△BCE，最後由中線BF得到陰影部分面積為1.

而作為面積法的拔高要求，我布置了這樣一道題目：

如圖，△ABC中，AD、BE、CF分別是中線，交於點O，求證：OA=2OD

這道題目的難處在於想到用面積法，而這個結論又非常容易歸納出來：三角形的重心將每條中線分成1：2兩部分。

從實際教學效果來看，基本的面積法都能掌握，即兩個導例，而例1問題較大，畢竟涉及到了添加輔助線，例2則相對較輕鬆，因為難點在例1，一旦突破，後面理解起來就快。

所發現的學生問題仍然在於對圖形的觀察不到位，誰是誰的中線？這個問題可以讓某些中等人想上數分鐘而不得其解，優生則往往一眼可看出來，課堂上的差距便是這樣拉開的。而為了整體教學效果，應該將兩個例題交換位置。

學生在作業中反饋出來的情況，與課堂練習結果有較大差距，對原因依然出在對圖形的感知上，即老師在課堂上通過引導，發現的圖形規律，在回家後沒有老師引導的前提下，發現不了。說明在課堂上所謂的練習正確只能是強記法的產物，並沒有真正理解。

由於word文稿轉化效果很差，截圖如下：