三角形面積法巧解幾何題,手握這把「鑰匙」,讓解題出奇制勝!

2020-12-11 走進數學課堂

三角形的面積公式每個初中小夥伴都知道,但是三角形的面積公式有哪些作用呢?三角形的面積公式不僅可以用來求三角形的面積,用它來證明平面幾何時,有時會收到事半功倍的效果。關於三角形的面積常考兩個題型,且常作為壓軸題類型,讓大多數初中小夥伴手無舉措,今天我們就來總結下關於三角形面積問題兩個類型的解題技巧。

俗話說:巧婦難為無米之炊。要解題我們得掌握相關的定理和性質,這是解題的鑰匙。三角形面積問題常用的理論依據:(1)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形;(2)等底等高的兩個三角形面積相等;(3)等底的兩個三角形面積比等於高之比,等高的三角形面積比等於高之比;(4)相似三角形的面積比等於相似比的平方;(5)有一個角相等或互補的兩個三角形面積比等於夾角兩邊的乘積的比。

(一)證明或計算面積問題

在三角形的面積計算或者證明中,求三角形的面積難度不大,有難度的是證明三角形面積之間的2倍關係,這也是近年中考的熱點題型;我們在解決此類問題時,常用到兩個技巧,一個是把大三角形分解成兩個三角形;二是找相似三角形;三是轉化為證底邊或者高之間的倍數關係。

(二)用面積法解幾何問題。在證明線段相等或不相等、證明角相等、證明線段和差等方面有著廣泛應用,我們把這種運用面積關係來證明幾何問題的方法稱為面積法。它是初中解幾何問題的一種重要數學方法。

(1)用面積法證明線段相等

由圖不難發現△ABE和△ACE等底AE,線段CF和BE分別是三角形的高,所以要證明CF=BE只需證明兩個三角形的面積相等。因為AD是中線易得到△ABD的面積=△ACD的面積,△BDE的面積=△CDE的面積;再利用等式的性質九可以得到△ABE的面積=△ACE,從而得到CF=BE。

(2)用面積證兩角相等

這題由結論不難看出要證OC是角平分線,用逆向思維不難想到添加輔助線的方法,過點C分別作CP⊥AE和CQ⊥BD,轉化為證明PC=CQ,由於CP和CQ是垂線段,不難想到△ACE和△BCD全等,面積必然相等,易得CP=CP,再根據角平分線的逆定理得出結論。

(3)用面積法證明線段不等

根據AD是∠A的平分線不難想到過D分別作DE⊥AB和DF⊥AC,這樣△ABD和△ACD就等高,面積比就等於底邊比;因為AB>AC易得△ABD的面積>△ACD的面積,從而得到BD>CD。

(4)用面積法證明線段和差

這題只要連接PA、PB和PC,△ABC可看成由△PAB、△PBC和△PAC的面積和,這樣底邊都是相等的,所以就不難得出結論。

(5)用面積法證明比例式或者等積式

要證明比例線段,我們可能優先會想到相似,但是這題沒有相似三角形,我們就一定要記得還有面積法。根據△ABD的高DE和△ACD的高DF相等,可得S△ABD:S△ACD=AB:AC,根據兩三角形的另一條等高AH,可得S△ABD:S△ACD=BD:CD,所以AB:AC=BD:BC。

(6)用面積法證明求線段比

由圖我們不難看出AM和DM為邊的三角形等高,我們應該聯想到用面積法來證明AM=2AD;已知條件中BC、BF是三角形的中線,不難證出S△ABM=2S△BDM。

通過這些題,我們不難發現面積法有出奇制勝、事半功倍之效。當然要想達到熟練應用,舉一反三,需要夯實基礎,建立完善的知識體系,再多做練習題。關於面積法解幾何題,大家有沒做過類似的題,歡迎大家分享經驗和心得。

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