由於研究關聯著多個因素的量所引起的問題，則需要考察多元函數。如果所研究的關聯性是線性的，那麼稱這個問題為線性問題。歷史上線性代數的第一個問題是關於解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源於生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。另外，近現代數學分析與幾何學等數學分支的要求也促使了線性代數的進一步發展。
線性代數有三個基本計算單元：向量(組)，矩陣，行列式，研究它們的性質和相關定理，能夠求解線性方程組，實現行列式與矩陣計算和線性變換，構建向量空間和歐式空間。線性代數的兩個基本方法是構造（分解）和代數法，基本思想是化簡（降解）和同構變換。下面對一些概念簡要介紹和發展史：
一、向量
在數學中，向量（也稱為歐幾裡得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。
向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。[1] 如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。
大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里斯多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。「向量」一詞來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。
從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構並未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯繫起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。
二、行列式
行列式出現於線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現在已經是數學中一種非常有用的工具。行列式是由日本數學家關孝和德國的萊布尼茨和發明的。
行列式理論產生於十七世紀末，到十九世紀末，它的理論體系已基本形成了。1693年，德國數學家萊布尼茨（Leibnie，1646—1716）解方程組時將係數分離出來用以表示未知量，得到行列式原始概念。當時，萊布尼茲並沒有正式提出行列式這一術語。
1729年，英國數學家馬克勞林 (Maclaurin，1698—1746)以行列式為工具解含有2、3、4個末知量的線性方程組。在1748年發表的馬克勞林遺作中，給出了比菜布尼茲更明確的行列式概念。
1750年，瑞士數學家克拉默 (Gramer，1704—1752)更完整地敘述了行列式的展開法則並將它用於解線性方程組。即產生了克拉默法則。
1772年。法國數學家範德蒙 (Vandermonde，1735—1796)專門對行列式作了理論上的研究，建立了行列式展開法則，用子式和代數餘子式表示一個行列式。
1172年，法國數學家拉普拉斯 (Laplace。1749梷1827)推廣了範德蒙展開行列式的方法。得到我們熟知的拉普拉斯展開定理。
1813一1815年，法國數學家柯西 (Cauchy，1789—1857，對行列式做了系統的代數處理，對行列式中的元素加上雙下標排成有序的行和列，使行列式的記法成為今天的形式。英國數學家凱菜 (Cayley，於1841年對數字方陣兩邊加上兩條豎線。柯西證明了行列式乘法定理:。
1841年，德國數學家雅可比(jacobi)發表的《論行列式的形成與性質》一文，總結了行列式的發展。同年，他還發表了關於函數行列式的研究文章，給出函數行列式求導公式及乘積定理。
至19世紀末，有關行列式的研究成果仍在不斷公開發表，但行列式的基本理論體系已經形成。
三、矩陣
在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最早在東漢前期的《九章算術》中，用分離係數法表示線性方程組，得到了其增廣矩陣。在消元過程中，使用的把某行乘以某一非零實數、從某行中減去另一行等運算技巧，相當於矩陣的初等變換。但那時並沒有現今理解的矩陣概念，雖然它與現有的矩陣形式上相同，但在當時只是作為線性方程組的標準表示與處理方式。
矩陣正式作為數學中的研究對象出現，則是在行列式的研究發展起來後。邏輯上，矩陣的概念先於行列式，但在實際的歷史上則恰好相反。日本數學家關孝和（1683年）與微積分的發現者之一戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同時地獨立建立了行列式論。其後行列式作為解線性方程組的工具逐步發展。1750年，加布裡爾·克拉默發現了克萊姆法則 。
矩陣的概念在19世紀逐漸形成。1800年代，高斯和威廉·若爾當建立了高斯—若爾當消去法。1844年，德國數學家費迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）討論了「變換」（矩陣）及其乘積。1850年，英國數學家詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩陣一詞。
英國數學家阿瑟·凱利被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數學對象研究時，許多與矩陣有關的性質已經在行列式的研究中被發現了，這也使得凱利認為矩陣的引進是十分自然的。他說：「我決然不是通過四元數而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的。」他從1858年開始，發表了《矩陣論的研究報告》等一系列關於矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉置和特徵多項式方程。凱利還提出了凱萊-哈密爾頓定理，並驗證了3×3矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius）於1898年給出的。
1854年時法國數學家埃爾米特（C.Hermite）使用了「正交矩陣」這一術語，但他的正式定義直到1878年才由費羅貝尼烏斯發表。1879年，費羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念。至此，矩陣的體系基本上建立起來了。
四、線性方程組
線性方程組的研究起源於古代中國，在中國數學經典著作《九章算術》一書有關解方程組的理論已經很完整。在大約公元263年，劉徽撰寫了《九章算術注》一書，他創立了方程組的「互乘消除法「。在1247年，秦九韶完成了《數書九章》一書，成為當時中國數學的最高峰。
在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀後期由萊布尼茨開創的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現在稱為克萊姆法則的結果。克萊姆不久也發表了這個法則。18 世紀下半葉，法國數學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了n 個n 元齊次線性方程組有非零解的條件是係數行列式等於零。
1867年，道奇森（Dodgson， 1832-1898 ）的著作《行列式初等理論》發表，他證明了含有n個未知量m個方程的一般線性方程組有解的充要條件是係數陣和增廣陣有同階的非零子式，這就是現在的結論: 係數陣和增廣陣的秩相等。
五、二次型
二次型也稱為「二次形式」。二次型的系統研究是從18 世紀開始的，它起源於對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在 18 世紀引進的。柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時並不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了 個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律後被雅可比重新發現和證明。1801 年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。
二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特徵方程的概念。特徵方程的概念隱含地出現在歐拉的著作中，拉格朗日在其關於線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數的二次型的特徵值的實性則是由阿歇特(J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。
柯西在別人著作的基礎上，著手研究化簡變數的二次型問題，並證明了特徵方程在直角坐標系的任何變換下不變性。後來，他又證明了 個變數的兩個二次型能用同一個線性變換同時化成平方和。
1851 年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明「不變因子組成兩個二次型的不變量的完全集」這一結論。
1858 年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，並證明，如果二次型之一是正定的，那麼即使某些特徵根相等，這個化簡也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統的完成了二次型的理論並將其推廣到雙線性型。
六、從解方程到群論求根問題是方程理論的一個中心課題。16 世紀，數學家們解決了三、四次方程的求根公式，對於更高次方程的求根公式是否存在，成為當時的數學家們探討的又一個問題。這個問題花費了不少數學家們大量的時間和精力。經歷了屢次失敗，但總是擺脫不了困境。
到了 18 世紀下半葉，拉格朗日認真總結分析了前人失敗的經驗，深入研究了高次方程的根與置換之間的關係，提出了預解式概念，並預見到預解式和各根在排列置換下的形式不變性有關。但他最終沒能解決高次方程問題。拉格朗日的弟子魯菲尼 (Ruffini,1765-1862) 也做了許多努力，但都以失敗告終。高次方程的根式解的討論，在挪威傑出數學家阿貝爾那裡取得了很大進展。阿貝爾 (N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27 歲，他一生貧病交加，但卻留下了許多創造性工作。1824 年，阿貝爾證明了次數大於四次的一般代數方程不可能有根式解。但問題仍沒有徹底解決，因為有些特殊方程可以用根式求解。因此，高於四次的代數方程何時沒有根式解，是需要進一步解決的問題。這一問題由法國數學家伽羅瓦全面透徹地給予解決。
伽羅瓦 (E.Galois,1811-1832) 仔細研究了拉格朗日和阿貝爾的著作，建立了方程的根的「容許」置換，提出了置換群的概念，得到了代數方程用根式解的充分必要條件是置換群的自同構群可解。從這種意義上，我們說伽羅瓦是群論的創立者。伽羅瓦出身於巴黎附近一個富裕的家庭，幼時受到良好的家庭教育，只可惜，這位天才的數學家英年早逝， 1832 年 5 月，由於政治和愛情的糾葛，在一次決鬥中被打死，年僅 21 歲。
置換群的概念和結論是最終產生抽象群的第一個主要來源。抽象群產生的第二個主要來源則是戴德金(R.Dedekind,1831-1916) 和克羅內克(L.Kronecker,1823-1891) 的有限群及有限交換群的抽象定義以及凱萊(A.Kayley,1821-1895) 關於有限抽象群的研究工作。另外，克萊因(F.Clein,1849-1925) 和龐加萊(J-H.Poincare,1854-1912) 給出了無限變換群和其他類型的無限群， 19 世紀 70 年代，李 (M.S.Lie,1842-1899) 開始研究連續變換群，並建立了連續群的一般理論，這些工作構成抽象群論的第三個主要來源。
1882-1883 年，迪克(W.vondyck,1856-1934) 的論文把上述三個主要來源的工作納入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定義。到 19 世紀 80 年代，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理體系。
20 世紀 80 年代，群的概念已經普遍地被認為是數學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數群等，它們還具有與群結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以及編碼學、自動機理論等方面，都有重要作用。
「如果代數與幾何各自分開發展，那它的進步十分緩慢，而且應用範圍也很有限，但若兩者互相結合而共同發展，則就會相互加強，並以快速的步伐向著完善化的方向猛進。」
---拉格朗日
*文章部分內容整理於李老師的大學數學輔導
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