《孫子算經》成書於南北朝時期，距今約一千五百年左右。
《幾何原本》成書於公元前300年前後，距今約兩千三百年左右。
▲《孫子算經·雞兔同籠》，唐，李淳風等注釋
▲ 還記得「雞兔同籠」嘛？古人是如何求解的？李永樂老師講經典數學問題
估計有太多人都不清楚，雞兔同籠中藏著的計算規律為啥會成立：
① 一隻雞的腿 ÷ 2 + 一隻兔子的腿 ÷ 2 =（ 一隻雞的腿 + 一隻兔子的腿 ）÷ 2
② 所有的雞腿 ÷ 2 + 所有的兔腿 ÷ 2 =（ 所有的雞腿 + 所有的兔腿 ）÷ 2
網紅李永樂老師在上邊的視頻中也沒提到過這個計算規律，估計李永樂也不知道雞兔同籠中的以上等式是咋回事。還有，估計編小學教材的那幫老師也不知道以上等式為啥會成立。
如果沒有以上規律的話，我們就無法確定將所有單只雞的腿和單只兔子的腿都減半之後，雞腿和兔腿的總數量就會被減半這個事實；反過來，如果沒有這個規律的話，我們也無法確定將雞腿的總數和兔腿的總數都減半之後，所有單只雞的腿和單只兔子的腿就會被減半這一客觀事實。
那麼，南北朝的人、李永樂老師、以及編寫小學數學教材的老師們是如何知道上邊那兩個等式都是成立的呢？
可能你會說，這不是顯而易見的嘛，這很直觀呀，把一隻雞和一隻兔子都卸掉一條腿，雞和兔子就都剩下了一半的腿，將減半之後與減半之前的腿的總量比較一下，就能知道它們的腿的總量也減少了一半，然後照此推理， 把23隻雞和12隻兔子的腿都卸掉一半之後，得到的肯定是23隻雞腿和24隻兔腿。總之無論雞和兔子的數量是多少，將所有雞和所有兔子的腿都減半，剩餘的腿的總數量肯定是之前總數量的一半。但是我要說的是，這種說法非常草率，非常不嚴謹不負責任，這種說法完全就是李永樂老師和小學數學教材之複印版。
然而就是這種被我們認為是很幼稚的問題，被我們認為是理所當然的無可置疑的結論，古希臘人卻不這麼看，古希臘人在這個問題上進行了嚴密的推理論證，他們寫清楚了證明過程中的每一個步驟，他們對這個問題的具體證明過程如下：
▲ 《原本·第五卷·命題1》，蘭紀正和朱恩寬翻譯。我用紅框標註了的內容是翻譯錯誤之處，應當刪除。
▲ 英文版的《幾何原本》（homas Little Heath：The Thirteen Books of Euclid's Elements）
我在前邊提出的雞兔同籠中所存在的等式①，我們可以用《原本·第五卷 · 命題 1 》中的推理程序來證明它是成立的，為了提高閱讀效率，我用接近現代數學的形式來表述吧：
▲《幾何原本 · 公理 1 》：等於同量的量彼此相等。
2 = 一隻雞的兩條腿 ÷ 這隻雞的一條腿 = 一隻兔子的四條腿 ÷ 這隻兔子的兩條腿 =（一隻雞的兩條腿 + 一隻兔子的四條腿）÷ （一隻雞的一條腿 + 一隻兔子的兩條腿）。
我們順著古希臘人整理出的拆分、合併、重組之程序，理順了一隻雞的腿與一隻兔子的腿之間的量變關係，從而得出了正確的結論；而不是讓這些量在頭腦裡混雜起來，在模模糊糊中靠瞎猜亂蒙得出結論。
同理，當雞和兔子是任意數量時，我們也可以用《原本 · 第五卷 · 命題 1 》中的推理程序證明前邊提出的雞兔同籠中的等式②是成立的：
▲《幾何原本 · 公理 1 》：等於同量的量彼此相等。
2 = 任意數量之雞的兩條腿 ÷ 此任意數量之雞的一條腿 = 任意數量之兔子的四條腿 ÷ 此任意數量之兔子的兩條腿 =（任意數量之雞的兩條腿 + 任意數量之兔子的四條腿）÷ （此任意數量之雞的一條腿 + 此任意數量之兔子的兩條腿）。在這個等式中，我們可清晰的看到：當任意數量的雞腿和任意數量的兔腿都減半之後，其中的每一隻雞和每一隻兔子的腿都被減半了。
更加厲害的是，經過古希臘人的梳理之後，這個等式被擴展了，它所描述的內容不再局限於雞腿與兔腿之間的數量關係，它所描述的數量關係可覆蓋任何事物，而且種類、數量、以及倍數之量都是不受限制的任意量。
經過推理論證之後，等式被抽象化、普遍化了，被轉化成了定理，將古希臘人所論證出的概念寫成代數式是這個樣子的：
▲《幾何原本 · 公理 1 》：等於同量的量彼此相等。
我們接著往下推導：
▲《幾何原本 · 公理 1 》：等於同量的量彼此相等。
把它也寫成代數式：
▲《幾何原本 · 公理 1 》：等於同量的量彼此相等。
然後根據《幾何原本 · 公理 1 》，把它再簡化一下：
ma + mb + mc + … = m（ a + b + c +…）
這個等式在《幾何原本 · 第二卷 · 命題 1 》中是以線段與矩形的關係展現出來的，它展示出了巧合之美，很是神奇：
▲ Thomas Little Heath：The Thirteen Books of Euclid's Elements ，1956
是的，你沒看錯，它就是從小學到初中的數學課本裡都有的，要求學生重複背誦，用於刷題的「乘法分配律」。
愛因斯坦：我是一個執意的而又有自知之明的年輕人，我的那一點零散的有關知識主要是靠自學得來的。熱衷於深入理解，但很少去背誦，加以記憶力又不強，所以我覺得上大學學習決不是一件輕鬆的事。懷著一種和根本沒有把握的心情，我報名參加工程系的入學考試。這次考試可悲地顯示了我過去所受的教育的殘缺不全，儘管主持考試的人既有耐心又富有同情心。我認為我的失敗是完全應該的。然而可以自慰的是，物理學家H.F.韋伯（Weber）讓人告訴我，如果我留在蘇黎世，可以去聽他的課。但是校長阿耳賓・赫爾措格（Albin Herzog）教授卻推薦我到阿勞（ Aarau）州立中學上學，我可以在那裡學習一年來補齊功課。
——愛因斯坦：《自述片斷》，1955
經過《原本》的論證，概念被清晰化、明確化了。《幾何原本》反應出了古希臘人的思想態度，古希臘人好像忍受不了含含糊糊不明不白，他們認為啥東西都必須分析清楚，用證據和邏輯搞清楚講明白。
我們不知道南北朝人到底知不知道這個被古希臘人證明了的規律，南北朝人好像不喜歡證明規律和定理。南北朝人好像不喜歡問為什麼，他們好像不想知道事物發生的原因，我們不知道是什麼阻止了他們的好奇心，拿上一個東西不問不想不思考，直接背完了用就是了，一點想法一點思想都沒有，很奇怪的感覺
中國數學家，太注重應用，不在乎數學嚴格的推導，更不在乎數學的完美化.
—— 丘成桐：數理與人文
不光是南北朝的教科書《孫子算經》不喜歡推理和證明，我們現在的教科書也不喜歡推理和證明，糊裡糊塗的搞出一個雞兔同籠的公式塞給學生就完事了，然後讓學生稀裡糊塗地死記硬背公式就完事了。這樣寫教科書非常不好，這樣的教科書教不好學生，讀這種教科書成長起來的畢業於北大和清華的網紅李永樂老師老被人批評，感覺一點也不好。
楊振寧：
徐光啟發現《原本》的精神與中國傳統的思想精神有不一樣的地方.任何一個學自然科學的人都會認為，徐光啟確實得到了西方的科學邏輯的精神的真諦，科學的東西，你沒有去接觸的話，你覺得是非常繁瑣非常隱晦的，其實不然，它裡頭符合了邏輯，其實是很簡單的，是比平常這種推理要簡單得多了…...徐光啟是看得很清楚的...中國始終沒有產生像希臘的歐幾裡得所代表的邏輯的程序，這個程序，我剛才已經講了，它的好處是徐光啟非常認識的，這個邏輯的程序沒有產生的話，所以近代科學在中國很難萌芽。
—— 楊振寧：近代科學進入中國的回顧與前瞻
丘成桐：
定理能夠蘊含的自然現象越多越好，能夠用簡單的語言來表達大自然深奧的一面，就是好的定理，這是用來判斷定理好不好的最簡單的方法……表示一個兼容、普遍性的現象。
我為什麼對畢氏定理一直以來都覺得有興趣呢？因為這是人類有史以來，至少是在有記載以來，第一次用嚴謹、嚴格的邏輯的方法來證明了的定理。這個定理簡潔漂亮，它不但是整個幾何學的始祖——第一個定理，同時，也是整個數學的第一個定理。也不但是整個數學的第一個定理，同時是在科學裡邊，第一個能夠用簡單的幾句話來表述一個很兼容很普遍的一個現象的事情，這是第一次，人類有史以來第一次做成的。
畢達哥拉斯定理為啥是第一個呢？畢氏定理最早出現在巴比倫，在公元前三千多年以前，就有畢氏定理的痕跡了。我們都曉得，一個三角形，假如它的邊數是3、4、5的話，它就是直角三角形，巴比倫人發現了很多這種三個數字的組合，可是他們曉得的只是這種特殊的例子，找了很多不同的特殊例子，我們中國的數學家，在春秋戰國的時候，大概也曉得3、4、5這組數字，可是你去看看《九章算術》，就是中國第一個數學著作，它從來沒有講什麼叫定理，它從來沒有講過一個比較普遍的定理，它不曉得什麼叫定理，在中國古代，就是漢朝的數學沒有提到這個。
畢氏定理對於當時的希臘數學家來說，是一個跨時代的貢獻，對人類歷史來講，也可以講是跨時代的貢獻，我們第一次曉得有一個方法、定理，可以對任何一個直角三角形都行得通的，這個事情，巴比倫、埃及、印度、跟中國都有某種畢氏定理的發現，可是他們不曉得這是對任何直角三角形都行的通的，他們不曉得a² +b² = c²，這是一個重要的普遍的事情.
畢氏定理到了中國是在中國三國的時候，劉徽也重新證明了，不過劉的證明是在公元300年的時候，這個證明跟希臘人的證明差不了太遠，我不曉得中間有沒有流通的一個事情，不過無論如何，都是八百年以後才曉得的.
黎曼幾何之所以能夠成立，其中一個重要的因素，就是因為畢定理能夠推廣到一個很小的空間來做它的基礎，所以畢氏空間這個定理後來成為了黎曼幾何的最簡單最基本的部分，所以它揭露了幾何空間的內涵意義，平坦空間是由它來決定的，它也影響了其他學科的發展，就是它發展了無理數這個觀念，也影響了二次曲線理論的發展.
我們在今天看畢氏定理，看不大不起，其實這是一個很偉大的突破，在古時代的時候，所以我還是覺得中學生非念這個定理不可，可是很不幸的是，很多高中生不一定念這個定理，也不見得懂得怎麼去證明它。
—— 丘成桐：我做學問的經驗和感受