神奇的常數e的由來

2020-12-24 佟咚咚

我們知道圓周率π代表了圓的周長與直徑之比約等於3.14，可是數學中的常數e怎麼來的，它的含義是什麼呢？

在18世紀初，數學家歐拉發現了這個自然常數e。當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利在半個世紀前提出的問題：假設在銀行存了 1 元， 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說1年後連本帶息，你會得到 2 塊錢。那麼現在假設半年就計算一次利息，半年利率為 50%即0.5，這種方案年中計息一次是本息一共1+1*0.5= 1.5 元， 然後下半年連本帶息年末就為（1+0.5）^2= 2.25元，這樣就是一年2.25 塊錢。那現在計算利率周期如果再短一些會怎麼？再來假設每個月結算一次，月利率為 1/12 ，本息計算（1+1/12）^12最終得到大約 2.61304 塊錢。看起來是利息的周期越短， 收益就更好。不過雅各布.伯努利發現隨著 n 趨於無窮，對於這樣的連續複利存在著一個極限值。

這個極限由 50 年後的萊昂哈德·歐拉計算出來小數點後 18 位 。2.71828182845904523，這就是描述增長率的自然常量 e 來歷。在微積分教程中有具體的計算過程，用到了二項式展開，以及極限的概念等。

這個單調增加的有界數列必有極限，這個極限就為e。

d

相關焦點

  • 除了值的大小,我們對常數e到底知道多少?
    · 對於e，我們似乎所知不多 在數學中，常數e一直是一個神奇的存在，似乎很常見，可我們對其又知道多少呢？從中文上看，大致是這麼個意思：「數學常數e是自然對數的基礎」。但，不幸的是，這裡又引出了另一個概念「自然對數」。
  • 讓我們從全新的視野分析e^x導數所包含的物理意義
    在數學中e是一個非常神奇的自然常數，首先它將自然數階乘的倒數聯繫在一起，接著又將虛數，圓周率π，0,1聯繫在一樣。但還它的神奇還不至這些，它的導數卻又是它的本身，這又引起了我們的好奇心，本篇我們將從全新的視野來討論e^t(你也可以寫成x)導數是其本身的物理含義e^t是數學唯一一個具有這種性質的函數，我們可以用一個物理模型來解釋這種優美的關係假設e^t是一個與時間有關的函數，數軸表示的是位移，也就是數軸描述了你所處的位置，當t=0時刻時，你的位置e^0=1,位置移動的速度
  • 數學界有5個神奇的數字,除了黃金分割和圓周率,剩下3個是什麼?
    在數學界，有5個神奇的數字，背後都藏著數學界的真理，你知道幾個？自然底數e自然底數e的值約為2.718281，提起它就容易讓人想到歐拉公式，公式中就有自然底數e，不過歐拉本人並不是自然底數的發現者，第一個發現它的人是瑞士數學家雅各布，出身於伯努利家族，他的弟弟是歐拉的老師。
  • 飄忽不定的介電常數
    今天我們來了解一番電容中絕緣介質的相對介電常數，可能有的小夥伴就要問了：「電容器生產出來之後，介質都固定了，我們了解電容介質的介電常數的影響又有什麼作用呢？」請大家稍安勿躁，且聽我慢慢道來。作為攻城獅不僅僅需要關注實際電容器，更需要關注信號傳輸路徑中的電容。例如信號線對地平面構成的電容大小會直接影響傳輸線阻抗、信號線對周圍信號線的電容大小會直接影響串擾等。
  • 自然常數e到底有多少秘密?至今沒研究透徹,它到底神秘在哪兒
    在數學王國中，有五個數非常重要，它們所包含的內容和所承擔的作用，遠遠超過了數值的本身，因而比一般數字顯得更為神秘，這5個數就是0、1、π、i和e，其中e的作用更為突出。像π一樣，e也是一個無理數。它的數值是e=2.7182818459…無限而不循環。
  • 直角三角形與e^x的不定積分存在著巧妙的關係
    我們很容易得出Y= e^(x/b)的導數等於e^(x/b)/b，也就是切線的斜率等於e^(x/b)/b，那麼這個切線與X軸，Y的垂直坐標形成一個直角三角形，這是你會發現這個直角三角形的一條直角邊等於Y= e^(x/b)，另一條等於一個常數b，這是一個非常有趣的現象，因為任何一點的切線與
  • 化學平衡常數-化學選修4同步優質系列教案
    （結論）①溫度不變時，K為常數，K═48.74；②常數K與反應的起始濃度大小無關；③常數K與正向建立還是逆向建立平衡無關，即與平衡建立的過程無關。〖板書〗一、化學平衡常數：在一定溫度下，可逆反應達到化學平衡時，生成物濃度冪（以其化學計量數為冪）之積與反應物濃度冪之積的比值是一個常數，這個常數叫做該反應的化學平衡常數（簡稱平衡常數），用符號K表示。
  • 比圓周率更神秘的「混沌」常數:4.669201609102...
    就是這個計算器，在費根鮑姆發現常數過程中，發揮了很重要的作用。他用計算器編程序算出每個三岔路口的坐標，即k值和相應的x無窮值。原來這兩個分岔圖存在兩個常數，你要知道在物理裡，往往一個新常數的出現往往能誕生新的概念，新的理論，像牛頓力學中的萬有引力常數G，量子力學中的普朗克常數h等等。
  • 「自然底數e」到底有多美?它似乎蘊含著宇宙無窮的秘密
    我們在高中階段接觸了一個有趣的常數，那就是「自然底數e」。人們都說，這是一個非常美妙的常數，因為它的美同樣來自於「自然」。那麼這個來自於「自然」的常數，到底有多美呢？早在遙遠的古希臘，泰勒斯就提出要擺脫「神學」的羈絆，向「大自然」尋找規律，以解決人們生產、生活中的難題。
  • 單單一個字母e,卻在自然界有多種身份
    e是什麼？e有很多種「身份」。它是英語字母表中的第5個字母，第二個元音。它來自希臘字母ε，是英語和許多歐洲語言中最常用的字母之一。e同樣跨越了多個學科，串起了科學的歷程。它讓我們認識到鸚鵡螺美麗的螺殼曲線，勾勒出行星運行的軌道，了解不可分割的基本粒子及其周圍的場，將物質的本質揭示出來。
  • 光速與普朗克常數引出愛因斯坦的相對論及其命運的轉機:互為貴人
    從左到右：熊斯特，愛因斯坦，普朗克，密立根，勞厄三、光速與普朗克常數的緣份1905 年愛因斯坦狹義相對論出來一定要特別關注光速（c）這樣一個最需要討論的對象。光速是什麼？光速是把時間的量綱變成長度的量綱，光速是時空的連接。光速在能量和質量相關時，光速的平方是比例因子，始終是一個常數，雖然叫速度，但它是一個沒有參照系的常數。
  • C語言代碼實現:6174數學黑洞(卡普雷卡爾常數)
    1：6174數學黑洞現象 ，即常數。 任選4個不完全相同的數字（，如1111就不行），讓減（例如8753-3578），不斷重複這個動作，最後一定會得到相同的結果：。 神奇的是：這個「最大減最小」的動作，最多！
  • 4種哈勃常數現身,宇宙亂套了?現實版三體危機爆發,細思極恐!
    例如近日加州大學戴維斯分校一組天文學家獲得了新的數據，就引發了宇宙學的危機，因為哈勃常數測量結果不一致！90年前，天文學家埃德溫·哈勃展示了宇宙比先前想像的更大的數量級--整個宇宙都在膨脹。這種膨脹的速率是一個叫做哈勃常數的數字。然而，這是一個不可靠的數字。使用不同技術的測量產生了不同的結果，即使研究人員改進了他們的觀察結果，這些數字也沒有顯示出收斂的跡象。
  • 從購物、談戀愛、到找房子:用神奇的數字37%治癒「選擇困難症」
    A 治癒「選擇困難症」的神奇數字在我們的生活裡，與之類似的選擇困境，幾乎隨處可見：在某寶或者某東上買東西，面對鋪滿屏幕的同類商品，該怎麼選呢？按照銷量或者價格排序之後，還是有很多相似或接近的。有，這就是神奇的數字37%。當你面對一定量的備選項時，先從前面37%的選項裡，找出最好的一個，但此時不要做任何決定； 接著把此後的選項逐一與它比較，只要出現比它更好的，就停止觀望和比較，馬上做決定。
  • 從購物、談戀愛、到找房子：用神奇的數字37%治癒「選擇困難症」
    有，這就是神奇的數字37%。當你面對一定量的備選項時，先從前面37%的選項裡，找出最好的一個，但此時不要做任何決定； 接著把此後的選項逐一與它比較，只要出現比它更好的，就停止觀望和比較，馬上做決定。下面，我們以「秘書問題」為例，首先用經驗法則來說明為什麼是37%（實際上，準確的應該是1/e，約為36.81%，e為自然常數），然後再用數學公式推導出這個神奇的數字。
  • 拋開微積分,用一種全新的數學思維得到y = e^(x/b)的不定積分
    我們還看到，指數函數曲線是唯一具有函數本身與斜率之比為常數的曲線。通過利用這一事實，我們可以求出指數曲線下區域的面積，而不用積分法圖一指數曲線y = e^x/b的切線在X軸上的投影具有恆定的長度b，切線點從x向左移動到負無窮時，該區域被x軸截斷的切線段所掃掠
  • 歐拉常數:如何快速得到非常精確的連續自然數的倒數之和
    連續自然數倒數之和是無窮級數的一類，也是一個非常有趣的級數，柯西，歐拉，伯努利都是處理無窮級數的高手，所以無窮級數的許多重要發現都與它們有關，對於自然數的倒數之和問題歐拉對此進行了研究，並得出了重要的歐拉常數γ，我們都知道連續自然數的倒數之和是一個無窮髮散的級數，前面的文章已經給出了詳細的證明，對這樣的一個級數問題，
  • 十幾塊錢的維生素E乳為什麼受歡迎?有啥神奇功效?
    有啥神奇功效？維生素E有一些抗氧化作用，而且還可以淡化色斑，一些想要美容的人士可能會選擇維生素E，但是呢，並不是說維生素攝入量越多越好，而是要根據每個人的個體情況來進行一些針對個人情況的補充，而且一些老年人是不建議食用維生素E的。下面給大家介紹維生素E的一些知識。
  • 玻爾巧遇海森堡,量子迷霧一掃光,普朗克常數再發威
    四、h普朗克常數——量子力學的大門就在物理學家們都在一籌莫展的時候，海森堡發現了量子世界的一個公式[x,p]=xp-px=ih/2π，這個公式稱為基本對易關係。根據量子力學原理，可以推導出不確定關係ΔxΔp≥h/4π。
  • 神奇女俠評分高嗎 神奇女俠有彩蛋嗎 神奇女俠彩蛋什麼意思
    《神奇女俠》今日上映，目前豆瓣評分8.3分。亞馬遜公主黛安娜·普林斯，經過在家鄉天堂島的訓練，取得上帝賜予的武器 與裝備，化身神奇女俠，與空軍上尉史蒂夫·特雷弗一同來到人類世界，一起捍衛和平、拯救世界，在一戰期間上演了震撼人心的史詩傳奇。