拋開微積分,用一種全新的數學思維得到y = e^(x/b)的不定積分

2020-12-24 電子通信和數學

指數函數在數學應用中是普遍存在的。它們出現在有關人口增長、放射性衰變、熱流和其他物理量增長率與當前數量成比例的情況中。幾何上，這意味著指數曲線上每一點的切線斜率與曲線在該點的高度成比例。

我們還看到，指數函數曲線是唯一具有函數本身與斜率之比為常數的曲線。通過利用這一事實，我們可以求出指數曲線下區域的面積，而不用積分法

圖一

指數曲線y = e^x/b的切線在X軸上的投影具有恆定的長度b，切線點從x向左移動到負無窮時，該區域被x軸截斷的切線段所掃掠

圖一進一步顯示了每個切線段的平移，這樣x軸與切線的交點變成了一個公共點，在這個例子中就是一個直角三角形的頂點。因為長度恆定為b，所以最終的切線簇形成了底為b和高為e^x/b的直角三角形，

因此，切線掃掠的面積等於直角三角形的面積，因此指數曲線和區間(∞, x] 之間的區域面積是直角三角形面積的兩倍，也就是它的底b乘以它的高度e^x/b

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