三角形內(外)角平分線定理

01

—定理內容（值得了解）

三角形內（外）角平分線的性質定理：

三角形內（外）角平分線外分對邊，所得的兩條線段與其內角的兩邊對應成比例.

02

—定理證明（值得研究）

（以內角平分線為例）

已知：如圖，AD是△ABC的內角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC; 

證明1：（做平行線）

過C作CE∥DA與BA的延長線交於E。

則： BA/AE=BD/DC; 

∵    ∠BAD=∠AEC；  ∠CAD=∠ACE；

       ∠BAD=∠CAD；

∴    ∠AEC=∠ACE；

∴    AE=AC；

 ∴  BA/AC=BD/DC 。

證明2：（面積法）

過D作DE⊥AB於E，DF⊥AC於F；

∵    ∠BAD=∠CAD； ∴  DE=DF；

∵  BA/AC=S△BAD/S△DAC； 

      BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；

∴  BA/AC=BD/DC

03

—典型例題（值得探究）

1、如圖，在 △ＡＢＣ 中，ＣＤ 是 高，ＣＥ 為∠ＡＣＢ 的角平分線．若 ＡＣ＝１５，ＢＣ＝２０，ＣＤ＝１２，求ＣＥ 的長

2、已 知 面 積 為 ４ 的 △ＡＢＣ 的 邊 長 分 別 為ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ（ｃ＞ｂ），ＡＤ 是∠Ａ 的角平分線，Ｃ′是 點Ｃ 關 於 直 線ＡＤ 的 對 稱 點．若 △Ｃ′ＢＤ 與△ＡＢＣ 相似，求△ＡＢＣ 周長的最小值．

3、如 圖 ，在 正 方 形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ、Ｆ 分別是邊ＡＢ、ＢＣ 上 的 點，ＤＥ 與 ＡＣ 交於點 Ｍ，ＡＦ 與ＢＤ 交於點Ｎ．若 ＡＦ 平 分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＦ，且 記 ｘ＝ＢＥ/ＯＭ，ｙ＝ＢＮ/ＯＮ，ｚ＝ＣＦ/ＢＦ，則（　　）． 

（Ａ）ｘ＞ｙ＞ｚ　　　（Ｂ）ｘ＝ｙ＝ｚ 

（Ｃ）ｘ＝ｙ＞ｚ　　　（Ｄ）ｘ＞ｙ＝ｚ

4、如圖，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，點 Ｄ 在邊ＣＡ 上，使得ＣＤ＝１，ＤＡ＝３，且∠ＢＤＣ＝３∠ＢＡＣ，求ＢＣ 的長．

參考答案：

1:

2:

3：D

4：

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