先點開音樂，這是俄羅斯後搖樂隊Mooncake在2008年發行的第一張專輯《Lagrange Points》（拉格朗日點）裡的曲子。專輯封圖是拉格朗日點的幾何圖。這張唱片有意思的是，封面對應了專輯的曲目，座標式的L1到 L5按照方位的不同，被穿插在專輯中。這張專輯裡蘊含的數學、科幻和強烈的向先哲致敬的意味都使得它超越了一般後搖音樂單薄空洞的主題性。本人最初是在豆瓣電臺上聽到這個樂隊的，2011年樂隊來北京演出的時候，我在北二環的犄角旮旯裡幫忙張貼下面這張樂隊演出的海報而被主辦方賞了一張門票不勝自喜。
拉格朗日點又稱平動點(Liberation Point)，是以法國籍義大利裔數學家和天文學家約瑟夫•拉格朗日命名的，在天體力學中是平面圓型限制性三體問題的五個特解。簡述為一個小物體在兩個大物體的引力作用下在空間中的一點，在該點處，小物體相對於兩大物體基本保持靜止。
先看一下方程式和拉格朗日點的分布示意圖，如下：
如圖所示M1和M2為兩個大質量物體的位置，M1質量比M2還要大。那麼L1、L2、L3、L4、L5即為拉格朗日點。如果這時候在這五點上放置一個質量相對於M1和M2來說可以忽略不計的物體的話，那麼這個小質量物體會相對於兩個大質量物體保持相對靜止，這些天體在空間的位置都是作用力平衡的結果。而且在這5個拉格朗日點，只有L4和L5是穩定的，即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來位置處的傾向。L4和L5兩大物體所在的點構成一個等邊三角形。
看過劉慈欣科幻小說「三體「的都知道，三體問題是指三個質量在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題。1687年，牛頓發現萬有引力，並提出萬有引力公式，兩個物體間的萬有引力相對簡單，一旦有第三個天體的加入，就會變得相當複雜，成為著名的三體問題。天文學家一直希望能夠找到三體問題的簡潔解，可是很遺憾，現在已經證明了三體問題的解是混沌的，也就是說任何微小的擾動都有可能造成不可預料的後果，可以形象的比喻為巴西的一隻蝴蝶翅膀的扇動，有可能因此導致美國的一場龍捲風。
不過，在「不和諧」中尋找「和諧」，始終是科學家的目標，因而他們瞄準了某些特解。如果加上「其中一個質量過小而無法對剩餘兩個質量造成影響」這個限制後，限制性三體問題便有了特殊解。1767年瑞士數學家歐拉，也就是拉格朗日的導師，推算出旋轉的二體引力場有三個特殊點，如果放入第三個足夠小的天體可以使其與前兩個大質量天體保持相對靜止。這樣的三個天體能取得一個穩定狀態，不用擔心因為加入了新的天體，就把一個和諧的天體軌道攪成一鍋粥。歐拉發現的這三個位於兩個大天體軸線上的點，即是L1，L2和L3。
法國數學家拉格朗日於1772年在歐拉的基礎上進一步推導證明出不在兩個大質量物體軸線上的點，即L4、L5。而且證明L1，L2，L3均為單向不穩定平衡點，下圖中，如果有物體在上述三個平衡點，任何垂直於兩大天體軸線的移動都會被推回平衡點，對於橫向上的微小擾動，會使該物體會被大天體拉向一邊離開平衡點不再復位，無法保持自平衡。不過如果選取適當的初始擾動，使相應平動點附近的運動仍為周期運動或擬周期運動。即選取這樣的初始擾動使系統原來的解退化為周期解，相應的運動變為穩定的，此時這種穩定稱為條件穩定。
與之相反L4和L5是穩定平衡點，上圖是兩個大天體產生的萬有引力等勢線，其中L4和L5是封閉的，是兩個穩定的特解。處於這兩個平衡點的物體，任何方向的微小擾動都會被推回平衡點，進而能一直保持此物體和兩個大質量物體的相對位置。
繁瑣的解釋還不如通俗地來模擬一下，假想是在如上圖一個巨大的健身彈力球上再放置了一個球形大西瓜（上圖黃球）和葡萄（上圖藍色地球）來模擬太陽和地球的引力勢能示意圖（非真實比例），那麼在這兩個水果的重力壓迫下形成的彈力球表面，在L1-L5這些點上可以放置綠豆，能保持這個系統的平衡。不過L4和L5這兩個點更為穩定。
L1-L5點的太陽地球相對天體位置圖
根據拉格朗日的理論，L1，L2和L3三點因不穩定不會存在天然形成的天體，但L4和L5上則會存在。直到理論提出的100多年後，才被觀測證實。1906年首次發現運動於木星軌道上的小行星在木星和太陽的作用下處於拉格朗日點上。該小行星的軌道與木星相同，繞日運動周期也與木星相同。從太陽看去，它總是在木星之前60°運轉，不會與木星貼近。天文學家很快就在木星之後60°的位置上，也發現了小行星。
迄今為止，在木星前後這兩個拉格朗日點上，已找到700顆小行星。科學理論的預見何其美妙！太空觀測又發現土衛三和土星的L4點有土衛十三，L5點則有土衛十四。土衛四和土星的L4點有土衛十二，L5點則有土衛三十四。2010年天文學家在地日L4點上發現了小行星2010TK7，是人類發現的第一顆和地球共用公轉軌道的小行星。
如圖2010TK7的軌道（綠線）。由於太陽系其他星體引力的影響2010TK7會環繞地日L4點做周期性運動，不過其圍繞太陽的公轉周期依然是不多不少正好1.00地球年。
拉格朗日點的天然能量穩定讓進入此點的太空飛行器可只需少量，甚至不需要燃料便可維持自身軌道。對於大型乃至巨型空間站來說，地日和地月拉格朗日點，尤其是L4，L5兩個穩定平衡點無疑是最佳選擇。
L4點受兩天體重力的合力指向系統的質心，合力大小正好提供該物體公轉所需之向心力，使其旋轉周期與質量較小天體相同並達成軌道平衡。
拉格朗日點其實在日本動漫，尤其是科幻的高達系列（一部著名的近未來科幻背景的系列動畫作品）中經常出現。在現在被稱為「始祖高達」的第一部高達《機動戰士高達0079》中，作為反派的吉翁公國的大本營，Side 3大型殖民空間站便是在環繞地月L2點的穩定軌道中。
在高達0079的宇宙紀元裡，所有的太空殖民空間站均位於地月L點宇域
而在《高達S.E.E.D》中的P.L.A.N.T.則更加宏偉，120座60千米長的大型殖民空間站群建在地月L5宇域。哪怕到更接近現實的《高達00》中，依然可以看到位於地月L4和L5的大型殖民空間站。高達0079中甚至還原了Side 3環繞L2點的穩定軌道，這是因為如前文所示L2為單向不穩定平衡點，因而人造衛星需要橫向環繞L2點以保持縱向平衡，此環繞軌道在天文學上被稱為利薩如軌道。
高達系列中屢屢將能容乃上萬乃至上百萬人口的空間站放置在拉格朗日點是有原因的，5個拉格朗日點的特性使其非常適合放置大型人造物體而不用擔心軌道調整和維持問題。
對於太空望遠鏡等無人探測器來說，拉格朗日點帶來的不僅是易於進行觀測的穩定軌道，不同拉格朗日點特殊的位置還為探測器提供了獨一無二的太空環境。日本的飛天號月球探測器利用地月L4和L5的天然平衡，僅消耗少量燃料便進入月球軌道。不過地月拉格朗日點遠沒有地日拉格朗日點位置特殊，所以現在沒有任何探測器在任何地月拉格朗日點工作。由於地日L1點介於地球和太陽之間，遠離地球可避免地球磁場對太陽風的幹擾，因而地日L1點非常適合研究太陽風並為地球提供太陽風預警，NASA負責採集太陽風粒子的起源號便曾部署在此。作為利用最充分的地日拉格朗日點，地日L1點現在有5個探測器，分別為WIND太陽風探測器，太陽和太陽圈探測器（SOHO），先進成分太陽風預警探測器(ACE)，深空地球環境觀測器(DSCOVR)和雷射幹涉空間天線開路者號(LISA)。
地日L2點則正好和L1點相反。由於位於地球背對太陽一側且相對靜止，地球會一直阻擋地日L2點的陽光，這使得L2點成為許多需要躲避太陽光幹擾的探測器的去處，此處易於探測器的保護和校準。NASA的威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）和ESA的赫歇爾空間望遠鏡（FIRST）都先後在地日L2點工作，中國的嫦娥二號探測器也曾短暫在地日L2點停留。現在僅有ESA的蓋亞空間望遠鏡（Gaia）在環繞L2點的利薩如軌道上工作，不過詹姆斯·韋伯太空望遠鏡將要被放置在該點的軌道上。
韋伯太空望遠鏡預計進入地日L2點的飛行軌道。
地日L3點是距離地球最遠的拉格朗日點，恰好位於地球公轉軌道另一端的L3點被太陽完全阻擋，因而無法觀測和通訊。外加上天然的不穩定平衡，地日L3點並無利用價值。一些科幻小說和漫畫經常會在L3點描述出一個「反地球」。
地日L4和L5點雖然是最好的天然穩定平衡點，但因距離地球較遠，以現階段科技難以有效利用。除去上面提及的2010TK7小行星及可能的其他小行星或星雲外，並無任何人造物體在L4和L5點。其中曾比較接近的為斯皮策太空望遠鏡（接近L5），日地關係觀測器-A(STEREO-A，接近L4)和日地關係觀測器-B(STEREO-B，接近L5)，這三位都是在自己的環太陽軌道上短暫掠過了L4或者L5。
在地球一前一後拍攝3D太陽照片的雙子探測器STEREO，注意圖中也標出了前文中提及的位於地日L1點的SOHO太陽探測器。
不久前，法國空間研究中心的天文學家提出一個新設想，使得拉格朗日點將來可能獲得新的用途：用作攔截危險小行星的布防點。法國科學家提出，捕獲一些中等體積的「天體」，把它們「部署」到「太陽—地球」體系的五個拉格朗日點中的一個。發現對地球有危險的小行星以後，人們可以調用這些「天體」去攔截危險小行星。
現在回頭來看這張專輯的封面圖，個人覺得是為了音樂藝術要求特意將L4這個點與兩個物體的軸線的60度變成了直角？不知這樣的改變用意如何。
聯想：如果直觀上將拉格朗日分布圖旋轉90度，得到反戰標誌。
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