角的概念是幾何學中最基本的概念之一。當我們研究三角形的性質時，我們自然地建立了三角形的邊和角之間的聯繫。這些聯繫是在三角學中系統地建立起來的。
角是什麼？我們如何測量它？
雖然角度的概念在視覺上很直觀，但它的數學定義卻不那麼直觀。讓我們嘗試開發一種視覺方法來理解我們如何定義一個角度。
考慮下面的圖
線條OA和OB之間的「延伸」就是我們所說的角度。即使我們選擇OC和OD這兩條線，它們之間的距離也是一樣的。所以點對的選擇是完全任意的。
接下來，我們將這個角度嵌入到上面所示的五邊形中。我們很容易看出，有5個這樣的角分別由5條邊對著中心。所有的角都相等因為邊長相等。我們應該記住，我們還不知道角是什麼，但我們仍然可以通過邏輯思維來建立它的一些屬性。
讓我們將此角度稱為θ（發音為「 Theta」）。現在，從上面的討論中可以很容易地說，θ的大小應為圍繞五邊形的整個角度的大小的五分之一。
讓我們以五邊形為中心的完整角度的量度為Ω（發音為「Omega」）。因此，我們可以寫成：
在我們繼續之前，我們需要陳述一個非常基本的幾何事實
完整角的測量與多邊形的大小和邊的數目無關。
很明顯，一個更大的五邊形(或任何其他多邊形)圍繞中心的完整角度是相同的。這意味著Ω某種幾何常數。
如果我們取一個正六邊形（6邊），那麼θ將變成：
看起來好像一個角度的大小取決於它周圍多邊形的形狀。這顯然是不可接受的，因為一個角應該與五邊形或六邊形或其他任何東西無關。它們只是兩線之間的「擴展」。所以我們想找到一個更好的方法來量化角度。
受以下事實啟發：即使對於不同的形狀，圍繞中心的角度始終為Ω，我們可以嘗試構造一個將Ω與常規正多邊形連接的量。如果我們幸運的話，這可能會導致某種我們想要的普遍性。我們寫一個n邊多邊形的周長公式
如果我們衡量任何多邊形的周長P，中心的角度認為是Ω。如果我們測量這個多邊形的邊的單位長度，角度∠必須Ω/ P。我們稱之為單位角。認為任何其他長度AB，角(θ)必須AB×單位角度。用P的表達式，我們可以寫成
這個表達式看起來很複雜，但是我們要做一些簡化。
我們問一個問題，如果n的值太大，會發生什麼？首先，多邊形有太多的邊，這些邊看起來就像一個圓。其次，1/n得值非常小。為了讓表達式更清楚一點，我們用m代替1/n，我們知道如果n變得太大，m也會變得太小。用m表示，最後一個表達式變成
現在，我們需要知道當m很小的時候分母上的這一項會怎樣。要理解這一點，考慮一個三角形ΔABC -
根據定義，我們知道：
從C點到B點會發生什麼？BC的長度變小了，∠A也變小了。如果∠A趨近於零，那麼∠BC的長度也趨近於零。我們重新整理一下上面的方程，得到
如果我們說BC趨於0，那麼我們有
公元前我們已經確定，如果為零，那麼α也變成了零。我們可以這樣寫
讓我們從上面θ-複製表達式
在我們的情況下，m幾乎變為零。現在，任何乘以m的數字也將變為零，因此mΩ/ 2是一個很小的數字。通過遵循上面討論的論點，當m → 0時，它應該意味著sinm（mΩ/ 2） →0。儘管這是相當簡單的簡化，但這是一場災難！這意味著我們將數量除以零，這在數學上是非法的。這是否意味著我們出錯了？並沒有。
讓我們確定這一明顯悖論的根源。分母中有一個數量，在某些情況下該數量等於零。消除此問題的唯一方法是用分子中的某項取消該項，以便當m變為零時，分母中沒有剩餘項會造成任何損害。現在，發生這種情況的唯一方法是，如果我們遇到以下情況-
數字k是一個常數，其突然出現可能會引起混淆。k的數學上嚴格的解釋超出了本文的範圍。此時，我們只能說在方程的右側，我們必須使因子m乘以某個未知對象。原則上，這個對象可以是任何對象，但是為了簡化分析，我們假設它是一個數字。我們將在下一節中擔心此數字，但是最重要的是m將用分子取消，並且除以零的問題得以解決！
這可能看起來像作弊，但這是一種合法的數學技巧。此外，這是擺脫零分問題的唯一明智方式。事實上，這本身是一個非常基本的關係，在數學的另一個分支——微積分中有著巨大的意義。
替換後，θ的表達式變為
正如我們所看到的，分母中的0消失了！
我們已經知道當m→0時，我們處理的是一個圓而不是一個多邊形(見下圖)。我們可以確定OA圓的半徑和AB的圓弧一定長度取決於θ。
但是我們怎麼找到k的值呢？
為了回答這個問題，我們將使用書中最古老的技巧——物理測量。讓我們看看下面的圖表：
這裡我們以θ為完整的角度在圓的一半。所以它的措施是Ω/ 2。如果我們用角的定義，我們會得到：
兩邊Ω被取消了，我們只剩下一個簡單的方程k -
如果我們可以用物理方法測量給定半徑下的半圓弧的長度，我們就可以把這些值代入這個公式中，得到k的數值。結果表明，對於任意大小的圓，k的值近似為3.143。在數學文獻，這個值是表示為π。因此，我們可以在角的定義中使用k的值來得到
到目前為止，我們一直在避免談論Ω的值，因為它是一個完全任意的選擇。這類似於在公制與英制中測量棒的長度。杆的實際長度不會改變，但是相關的數字可能會改變。因此，我們可以完全自由地在特定系統中為Ω選擇一個值。通過看最後一個公式，簡單地選擇Ω=2π 很有意義。這種選擇使角度的定義非常簡單
角度測量的選擇Ω稱為弧度。如果我們選擇Ω= 360,我們稱之為度。
總結
我們發現了一個明確的角度定義（以弧度為單位），即角度=弧長/半徑。如果我們以弧度為單位來測量角度，則會得到一個非常有用的結果：當θ→0時，sinθ→θ。