來源：力學科普微信公眾號（ID：lxkp_cstam），作者：邱信明。原題《扁擔是否真的省力》
在動力機械發明之前，主要以畜力和人力搬運物體，人力雖小卻頗為便利，有懷抱、肩扛、手提、頭頂等多種方式。有些民族利用頭頂的方式負重，如朝鮮族以及剛果的居民。藉助一些簡單的工具，可以更方便的利用人力。對於華夏的老百姓，日常生活和生產勞作中經常需要使用扁擔來挑物、運輸。扁擔起源於何時、由何人來發明，都已經無法精確考證了。西方有沒有扁擔這種工具呢？據作者不完全的觀察是沒有的，影視和油畫作品中可以看到西方人用肩扛、用手提和用後背來駝，卻沒有發現過利用扁擔的畫面。為什麼中國扁擔很普及呢？猜測是與國人良好的平衡感和設計智慧有關。
作為中國自古以來的普及農具，幾千年來扁擔為農業生產和運輸創造了無以計數的價值。歲月流逝，交通運輸日益現代化，農民結束了肩挑運送的苦力活。而直至今日，現代化的生產方式逐漸替代了古老的農業生產，拖拉機、割草機已經大範圍得到使用，小型農用機械也走進了千家萬戶，但扁擔這一古老而簡陋的負重工具仍然沒被這個時代拋棄。在短程運輸、負重攀登的過程中，扁擔依然是成本最低而且最有實效的選擇，由此可見，這一中華古代發明之偉大。之所以人們不淘汰這種古老農具，是因為它方便耐用，挑東西不吃力，而且行進快捷。有人說，用不用扁擔，人最後的負重是相同的，因此沒有「省力」。那麼，扁擔到底是不是真的「省力」呢？在簡要回顧扁擔的力學模型的基礎上，讓我們分別從靜力學、動力學和材料力學角度分析一下扁擔是不是真的「省力」。
為什麼有人說扁擔其實不省力呢？某種角度來說，這種說法也沒錯。無論以何種方式負重，靜止在地面的時候，測量人腳下的壓力，都等於人體自重加物品重量。那麼不同的負重姿勢，為何有「省力」和「不省力」的差別呢？原因在於，人體感受的省力與費力，其實是身體某部分與外載荷平衡的內力。這個內力可能是受拉、受壓、受彎或受剪等。為了維持平衡，人體的肌肉和骨骼需要發生相應變形，使該點的內力和外載荷的簡化效果相抗衡。
外載荷如何向給定的點簡化呢？由力學知識可知，如果作用在同一個質系上的兩個力系可以相互交換而不改變質點系的運動狀態，則稱這兩個力系等效。所謂力系等效，其實是對剛體的作用效果相同，即力系的主向量相同，對於任何一個簡化中心，力系的主矩也相同。
由以上知識，容易得出結論：作用在剛體上的力可以沿著力的作用線在剛體上滑移，但是不能平行於作用線搬移，因為搬移的情形主矩不相等，如圖1所示。
圖1 剛體上作用力的簡化
對圖2所示的各種人體負重姿勢進行靜力學簡化，為避免冗長，僅以簡化中心為人體的腰部為例進行分析。首先，比較力系的簡化效果。不同負重方式，重物產生的集中載荷，對人體腰部簡化中心的等效如圖2所示，其中，懷抱（圖2a）和背負（圖2b）兩種方式的簡化結果是除了主向量N=G 外，還有不為零的力矩M=G×d，這裡d 是重物重力作用線與簡化中心的距離。這表明，這兩種負重方式下，人體腰部需要有內力矩與外載荷重物產生的彎矩M 相平衡，而通常腰部的彎曲荷載是不受歡迎的，容易導致腰部的疼痛和受傷。相比而言，其他三種負重方式手提（圖2c）、頭頂（圖2d）和挑擔（圖2e），腰部則不受彎矩作用。
(a) 懷抱；(b) 背負；(c) 手提；(d) 頭頂；(e) 挑擔
圖2 各種人體負重方式示意圖
然後比較一下傳力的路徑。上面僅分析了腰部，而除了腰部以外，還有很多部分的內力也不為零，內力不為零的部分，就在傳力路徑上。圖2(a) 所示懷抱重物情況，重量由手臂傳遞到肩，再由肩胛骨傳遞給脊柱、脊柱傳遞給骨盆、骨盆再傳遞給下肢。在整個過程中，手臂、肩膀和脊柱、腿都有內力或者內力矩，可以說除了頭部外，全身都參與受力。圖2(b) 所示背負重物的情況比懷抱略好，因為手臂和肩膀起扶持作用，並非承受全部重力載荷，但脊背、骨盆、下肢受力情況與懷抱類似。圖2(c) 所示手提重物的情況，若假設兩側重物對稱，則腰部不受彎矩；傳力路徑與懷抱重物時基本相同，仍然是手臂、肩膀、脊柱、腿的全身受力。圖2(d) 所示頭頂重物情形，力的路線比較直接：頭、脊柱、骨盆和下肢，這種情形腰部不受彎矩，手臂和肩膀也自由，但頭頂重物也有明顯的缺點：脊柱中比較脆弱的部分—頸椎也受壓，對頸椎不好的人是個挑戰；大重物舉過頭頂較難；重心高，不容易掌握平衡。考慮到這三個缺點，頭頂重物只適合於重物比較輕的情況。
圖2(e) 所示扁擔挑的情形。在靜力學分析過程中，忽略扁擔的彈性，簡化成剛體的扁擔就是一個槓桿，它的各個截面主要受彎矩作用，代替了人的肩膀和手臂承受內力，使人體受力的路徑更短。若扁擔兩側重物不相等，肩膀受力N 和物體重量G1 和G2 之間具有如下關係：
式中，l1 和l2 分別為前後重物重力作用線到肩膀接觸點的水平距離。可見，這種情況下，人肩膀處受的集中力N 可以直接傳遞給脊柱和下肢。脊柱的受力形式是受壓，而不受彎。雖然嚴格的講，脊柱不受彎而只受壓的情況是不存在的，因為脊柱本身具有自然曲度。即使是作用在脊柱正上方的壓力載荷，也會在脊柱彎曲處產生彎矩。
從靜力學角度看，人體感覺更省力，其實是有兩個原因：
通過比較幾種負重方式可知，從內力傳遞路徑和腰部的內力特點，挑擔這種方式人體的靜力學受力比較合理。
扁擔在行走過程中是有變形的，因此是一個彈性體。文獻[1]曾經將扁擔簡化為彈簧和阻尼系統，分析了扁擔尺度對系統固有頻率的影響；並指出挑夫在運動時肩膀的上下運動，對扁擔和重物構成的「彈簧—黏壺—質量」系統進行激勵，產生了強迫振動。通過估計動反力，文獻[1]指出，挑夫的步代頻率是系統頻率的2倍左右，挑夫可以走的又快又省力。文獻[2]在文獻[1]的分析結果基礎上，進一步考慮了水平激勵引起的重物的擺動，認為扁擔系統是由兩個振動子系統複合而成的。
以上兩篇文獻，是關於扁擔這個變形體的受迫振動的很完善的理論分析。這裡直接引用文獻[2]的分析結果，對扁擔的動力學特性做介紹。
圖3 肩部垂直激勵引起的荷物的受迫振動
如圖3所示，考慮對稱性，扁擔可以簡化為端部有集中質量的懸臂梁，扁擔末端中，重物偏離平衡位置的垂直位移y 滿足方程：
式中，m=G/g 是重物的質量，K 是懸臂梁的剛度，yJ=h sinωt 是肩部（懸臂端）的垂直位移。因此，「扁擔-載荷」系統的固有頻率為ωs=√K/m。上式的受迫振動的穩態解為：
若ω≤ωs，引起的肩部附加作用力為：
由以上文獻[2]中的力學模型分析可知，扁擔的問題是一個彈性系統的受迫振動問題。產生的載荷是典型的動載荷，與系統本身的特性密切相關 (K,m)，而且對激勵頻率很敏感（與ω²成正比），文獻[1]因此也指出，人的步行頻率不能太高，否則增加動反力幅值。
作者想特別指明的是：相對於恆定不變的靜載荷，人體更適應周期性變化的動載荷。常有人認為，人體中最辛苦的器官就是心臟。因為心臟的工作時間與人的壽命相同，只要人活著，心臟就不能停跳。但現代醫學說明，心臟其實是周期性工作的，首先主動收縮泵出血液，然後自然舒張並回吸血液。因此，在一個心跳周期中，需要心肌用力的時間只佔約1/3，其他2/3時間是在放鬆和休息。與此相對照，運用扁擔挑重物是同樣的道理，雖然動載荷的峰值是大於靜載荷的，但因為載荷是周期性變化的，每個周期總有一多半的時間是在放鬆和休息。對於扁擔問題，放鬆的階段正好用於前進。這可以認為是挑擔時，人感覺「省力」的重要原因。
扁擔的兩頭窄，中間粗。雖然很多簡陋的扁擔是橫截面均勻的竹子或者木材製成的，好的扁擔通常是變截面的，即中間寬、兩頭窄。這可以從材料力學角度簡單分析。對於圖4所示懸臂梁，在自由端受集中載荷時，容易知道外載荷產生的彎矩MF 沿著梁是線性變化的，即在加載點為零，在固定端為FL。均勻截面梁的每個橫截面都有相同的截面慣性矩Iz 和抗彎極限彎矩Mp。考慮到線性分布的外載荷，彎矩最大的位置顯然在固定端（對應扁擔和肩膀的接觸點）。只要保證此處的MF <Mp，扁擔就不會斷裂。那麼從減輕扁擔自重角度，完全可以對扁擔的材料分布進行優化，最簡單和直觀的辦法就是減少兩側的材料，因為兩側承受的彎矩很小。使用扁擔的國人雖不懂得變截面梁和結構優化，他們在日常應用中已經不知不覺的對扁擔進行了結構最優化設計。扁擔自重輕，也可以更「省力」，雖然量級不大，但是這是對附加外載荷的減少。
圖4 變截面懸臂梁的示意圖
扁擔的「扁」和「軟」。扁擔要扁，顯然是要增加扁擔和肩膀的接觸面積，同樣動載荷作用對應更小的壓力分布，這樣對總載荷降低沒有任何幫助，但可以降低肩膀處的局部壓強，讓肩膀這個承載點感覺更舒適。對於肩膀這個局部而言，總載荷不變，參與受壓的面積增加，從降低肌肉的內力峰值（壓力）而言，是明顯「省力」的，也避免了破損。而所謂扁擔的軟，是指彈性比較好，對應動力學分析過程中的剛度係數K 較低。由上式可知，位移確定的情況下，動反力與剛度係數成比例。此外，剛度小的扁擔也容易變形，這樣向下的附加動載荷作用在肩膀上時，還可以產生更大的彎曲變形，進一步增加扁擔和肩部的接觸面積，減小壓強。
由此可以得到扁擔材料的幾個要素：質量輕、且有很好的彈性和韌性。彈性好才能「軟」，不會傷肩膀；韌性好能在「扁」的形狀下還能承受很大的彎矩而不斷裂。實際生活中，普通的扁擔是毛竹削成的，而據說有十年以上的樹齡軟性的白榆樹，削皮後直徑十來釐米，微帶自然的彎曲並且在河溝裡浸泡過兩三年的，做成的扁擔是最好的，大約是挑夫根據經驗，對扁擔的材質做出的優化選擇。
首先，從靜力學受力的角度，說明對人體而言什麼是「省力」。人體感覺省力，是力的傳遞路徑更短，參與受力的骨骼和肌肉更少，或者主要受力結構的載荷更小，扁擔在這兩個方面都能達到「省力」的效果。它不僅改變了傳力路徑，使人體主要受力結構的只是脊柱和腿，其他部分均處於較放鬆的狀態；而且改善了腰部的受力狀態，載荷的對稱性使腰部基本不受彎矩，更符合人體工程學原理。現在生活中更常用的雙肩背包，其靜力學特性、傳力路徑其實和扁擔很相似，只是沒有動載荷效應，有興趣的讀者可以自行分析。
其次，利用現有關於扁擔的彈簧—質量系統受迫振動的力學模型，說明人體在挑擔過程中受的是周期性的動載荷。人體本身的結構特點更適合動載荷，因此從主觀上會明顯感覺「省力」。
最後，扁擔的材料和尺寸優化，可以降低肩膀的局部應力。變截面梁可以實現扁擔的減重；而軟和扁的形狀，可以降低肩膀壓力峰值，這也是「省力」的原因之一。
隨著科技的進步，這一代人已經很少會用扁擔了，但是扁擔「省力」的相關原理卻可以用在很多地方。「省力」本身是一個非常主觀的感受，但這種感受其實是可以量化和解釋的。
以上我們從靜力學、動力學、結構和材料的優化不同角度，分析得到了扁擔省力的多種原因。在與人體相關的醫學器件和各種操縱設備的設計中，如果能考慮傳力路徑的長短、局部內力的載荷性質及大小、周期性動載荷的特點，將使人感覺更舒適。在符合環保和輕量化設計要求的基礎上，做出更符合人體工程學的優秀設計。
參考文獻：
[1] 張以同，張嵐。關於扁擔的力學，力學與實踐，2002, 24(5), 76-78
[2] 尤明慶。關於扁擔挑運力學原理的註記，力學與實踐，2011, 24(4), 87-88
[3] 李俊峰，張雄。理論力學（第2版）。北京：清華大學出版社，2010
（原文註：本文刊載於《力學與實踐》2018年第1期，略有改動）
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