數值仿真是研究真空電弧內部物理機制的一種重要方法，可以為真空滅弧室的優化設計提供理論依據，相比於實驗研究方法，數值仿真具有高效性和經濟性。真空電弧的模型已經從早期相對簡單的零階模型發展為現在的三維模型，這有利於更好地理解真空電弧物理機制。文中將對縱磁控制技術下真空電弧模型的發展過程進行回顧和分析。
1 早期真空電弧模型
1977年，Boxman首先使用流體模型分析真空電弧，他通過假定電流密度恆定來計算等離子體密度分布，還通過假定等離子體密度恆定來計算電流密度分布。用於計算電流密度分布的模型見圖1。其邊界條件為：表面1-6上Jz=-J0；表面4-5上Ф=0，其中Ф為電勢；表面2-3和表面5-6上Jr=0；表面1-2和表面3-4上Jz=0。其中Jz和Jr分別為電流密度的軸向和徑向分量，J0為陰極側電流密度。Boxman的模型較好地說明了真空電弧中等離子體和電流的集聚效應。
圖１Boxman計算電流分布模型
1983年到1987年，Izraeli採用磁傳輸方程分析了自生磁場和外加縱磁對於電流分布的影響，結果表明外加橫磁的施加減弱了電流在陽極的集聚，但他忽略了陽極鞘層的作用，這會引起過高的電流集聚，進而導致陽極中心過高的能量密度。1989年，Wieckert在電弧模型中考慮了陽極鞘層的作用，還利用磁傳輸方程分析了擴散型電弧陽極側電流密度和能量分布，結果表明陽極鞘層對等離子體參數在陽極側的分布有著很大影響。
然而以上模型中都沒有耦合電磁場方程組和流體方程組，也就是說沒有考慮氣流場和電磁場的相互作用，而且還忽略了電弧的能量過程，因此這些模型還不完善，只能定性地分析個別參數。
2 二維磁流體動力學模型
隨著計算機技術的進一步發展，在1996年以後，Keidar和Beilis等人耦合了氣流場和電磁場，建立了二維磁流體動力學（MHD）射流模型，見圖2。在這個模型中假定真空電弧為非局部熱動力平衡等離子體，但他們在模型中沒有考慮能量方程，而只是假定離子溫度和電子溫度為常數。這個模型的顯著特點是將等離子體的邊界考慮為自由邊界，將邊界的移動與其他方程一起考慮。在文[5]中，由於電弧電流較低，自生磁場被忽略，而在文[6]應用與文[5]中幾乎相同的模型計算了兩個平行盤狀電極之間的等離子體參數與電弧特性，在該模型中考慮了環向磁場和縱向磁場的作用，這些結果說明了等離子體射流角度會影響陽極鞘層電勢。
圖２ Keidar和Beilis的模型
2001年，Keidar和Schulman建立了大電流真空電弧模型並進行了仿真，仿真結果解釋了縱向磁場與電弧電壓的「L」形關係曲線，見圖3。他們還在後來的文[8]中仿真了擴散型電弧，分析了主電弧及縱磁對等離子體擴散及電流的影響，但沒有考慮能量守恆。在文[9]中考慮了電子能量守恆方程，並計算了電子溫度分布，但電子能量方程並不完整，同時也沒有考慮離子能量守恆方程，因此該模型的離子溫度和電子溫度計算結果與實驗結果吻合性不好。
圖３ 準中性等離子體電壓降與Bz關係曲線
2003年，Schade和Shmelev建立了考慮電子和離子能量守恆方程的真空電弧二維磁流體動力學模型，並仿真了大電流擴散型真空電弧，模型見圖4。他揭示了真空電弧的物理特性以及輸入陽極的能流密度分布，還將仿真結果與電弧圖像對比，解釋了真空電弧從小電流下的超音速流動到大電流下的亞音速流動的轉變。在能量守恆方程中還通過淨輻射係數法考慮了輻射傳輸的影響。在之後的模型中他們還對考慮大電流真空電弧下陽極蒸發情況進行了初步的仿真。
圖４ Schade和Shmelev的擴散型真空電弧模型
2005年，王立軍與賈申利等建立了縱磁下的真空電弧模型，這個模型是基於離子電子雙流體模型和麥克斯韋方程組建立的，最終得到二維軸對稱二維磁流體動力學模型大電流真空電弧。
不同縱磁分布下真空電弧特性仿真結果表明，相比於鐘形縱磁，馬鞍形縱磁可以減弱真空電弧的集聚，見圖5。2006年，他們對比了超音速和亞音速真空電弧特性，還將仿真結果與實驗結果做了對比，兩種情況下的仿真結果如圖6，從圖6中可以看出當離子在超音速狀態下流動時，如圖6(a)、(c)，陽極側的離子數密度和等離子體壓力均遠高於陰極側，這是由於焦耳加熱和電流的集聚。隨著離子速度的顯著降低，動能大量地轉換為熱能，這導致了陽極側的離子溫度發生突增，同時焦耳加熱導致更高的電子溫度，離子溫度、電子溫度和離子數密度的增高都導致了陽極側等離子體壓力的增高。隨著電弧電流提高，陽極側等離子體壓力會越來越大，真空電弧工作狀態從超音速轉變為亞音速，離子數密度和等離子體壓力的最大值轉移到了陰極側，如圖6(b)、(d)。
圖５ 不同縱磁分布對自由邊界的影響
圖６ 典型縱磁下的超音速及亞音速真空電弧
在後來的研究中，他們還分析了等離子體回流現象和陰極側電流集聚現象，見圖7。等離子體回流現象是由大電流真空電弧中強烈的磁箍縮效應引起的，由於等離子體回流現象，陰極側離子數密度最大值並不在陰極側中心，而是在靠近軸線的區域中，也就是說離子數密度在陰極側中心處發生下跌，弧柱似乎被分成了兩部分，實驗中也發現了低強度的密度下跌。根據大電流真空電弧的仿真結果，小電流下明顯的電流集聚現象只發生在陽極區域，然而隨著弧柱電流的增大，陰極側也會發生電流集聚，當電流進一步增大，陰極側電流集聚會比陽極更顯著。陰極側的電流集聚主要是因為電流等級較高，見圖8，而縱磁的增大對整個弧柱的電流集聚均有抑制作用。陰極側電流集聚現象可以在大量的實驗中發現，這可以證明仿真結果是正確的。
圖７ 大電流真空電弧的離子速度分布
（電弧直徑 d=30 mm，電極開距 h =10 mm）
圖８ 軸向電流密度隨電流的變化規律
文[16]中仿真了考慮滯後縱磁的真空電弧發展過程；文[17]中仿真了由母線產生的外加徑向磁場下的真空電弧特性；文[18]中仿真研究了陰極斑點對真空電弧特性的影響。陰極電流密度分布對等離子體參數的影響見圖9。在均勻的陰極電流密度下，中心區域等離子體參數較小，且徑向分布較寬，而在非均勻電流密度下，中間等離子體參數較大，且徑向分布更不均勻，陰極側的非均勻電流密度使電流在陰極側更加集聚。大電流產生了更大的焦耳加熱，進而導致電子溫度和陽極側熱通量密度更大。文[19]基於瞬態二維磁流體動力學模型，仿真了在高頻開斷和直流開斷過程中快速強制電流過零條件下的真空電弧發展過程。
圖９ 間隙中心平面的徑向參數分布，
熱通量密度的徑向分布是在陽極表面得到的
Londer和Ulyanov基於軌道方法仿真了真空電弧，他們將偏微分方程組減少為沿電流線導數的常微分方程組。2009年Jadidian仿真了具有較強外加縱磁的高電壓直流斷路器中的直流電弧，他提及了反向電流注入的新方法，發展了一個瞬態二維模型，他使用了多物理商業建模軟體COMSOL，並得出了強縱磁對真空斷路器的直流中斷具有可靠的效果。
2010年，Langlois等基於二維雙流體磁流體動力學模型仿真了不同狀態下（超音速及亞音速）縱磁對擴散真空電弧的作用，他們也考慮了能量守恆方程和自生磁場的三個分量（軸向、徑向和旋向），並使用了流體動力學計算機輔助商業軟體FLUENT。仿真結果表明電流總會發生集聚，然而離子的動態變化極大程度上受到陰極附近流態的影響，另外還討論了不同工作參數對電流集聚的影響。
以上全部仿真均基於二維軸對稱模型，實際上商用真空斷路器中縱磁大電流真空電弧並不是完全軸對稱的機構，極間等離子體在縱磁的控制下會發生明顯的旋轉，為了更好地理解縱磁大電流真空電弧，有必要使用三維模型。
3 真空電弧的三維磁流體動力學模型
Hartmann等基於三維磁流體動力學模型仿真了縱磁大電流真空電弧，2008年，他們只通過度量源項的一半來獲得收斂解，且只得到了大電流真空電弧的定性結果。2010年，他們考慮了陽極鞘層的作用，並分析了在不同縱磁空間分布下等離子體的參數以及極間等離子體的旋轉現象。而2012年，他們發展了瞬態三維數值模型來仿真縱磁下銅鉻電極中擴散態多組分真空電弧，另外還使用了仿真商業軟體CFX。根據由十五譜帶計算的隨溫度變化的吸收係數，他們把輻射損失描述為P1輻射傳輸模型。2008年，J. C. Lee等使用商業有限元包裝軟體ANSYS計算了不同類型縱磁觸頭（線圈式和杯式）三維擴散型真空電弧，真空電弧的建模包含一系列電磁場與熱流體場的耦合方法，他們認為洛倫茲力是影響電弧等離子體流動現象的主要因素。2012年和2013年，王立軍和賈申利等將縱磁大電流真空電弧的二維磁流體動力學模型擴展為三維模型，並仿真了電弧等離子體從陰極向陽極流動及明顯的旋轉現象，見圖10。還仿真了縱磁強度對等離子體旋轉的影響，見圖11。
圖10 陽極典型等離子體旋轉現象
圖11 縱磁強度對陽極側離子旋轉速度的影響
d=41 mm，h=10 mm，I=25 kA
從圖11中可以看出離子旋轉速度的最大值點沿電弧邊緣向外移動，另外旋轉現象看起來像是一個圓環，圓環的內外直徑隨縱磁的增強而增大，另外文章還分析了由於渦流導致的磁場滯後於旋轉速度的現象。
隨後黃小龍、王立軍等人在此基礎上考慮了陽極蒸汽對真空電弧的作用，仿真中採用工頻50 Hz，即半波時間為10 ms，仿真在5、9 ms時的結果見圖12。圖12(a)為離子軸向速度分布，圖12(b)為兩個時刻的安培力分布，可以看出5 ms時刻安培力比9 ms時刻大很多，主要因為5 ms時刻電流正達到峰值，而9 ms時刻電流已經很小。另外這兩個時刻安培力分布方向相反，見圖中1、2所指對應位置。5 ms時刻箭頭2所指區域①安培力為負值，即這塊區域安培力是由陽極指向陰極，這阻礙了來自陰極側的等離子體向陽極運動。所以5 ms時刻箭頭2位置離子軸向速度較小。而箭頭1所指區域②安培力為正值，對來自陰極側的等離子體是加速作用，因此5 ms時刻箭頭1位置離子軸向速度較大。根據麥克斯韋方程，縱向磁場Bz的導數項是影響電流密度jx和jy 兩個分量的主要因素，因此圖12(c)對比了兩個時刻的縱磁分布，這兩個時刻縱向磁場分布之間的差異導致了離子軸向速度「旋轉」方向不同，而電極表面渦流是導致縱向磁場在電流峰值前後呈現不同分布的主要原因。電流峰值時刻之前，渦流阻礙縱向磁場增大；電流峰值時刻過後，渦流則是對縱向磁場進行補償，減緩縱向磁場衰減。因此最終可以得出，電流峰值時刻前後，渦流的不同作用是離子軸向速度產生不同「旋轉」方向的主要原因。
圖12 陽極側真空電弧參數分布圖
４ 存在問題
實際上真空電弧是在真空開關觸點逐漸分離的過程中點燃的，這一點會不同於觸髮型真空電弧。而人們發現在觸頭分離過程中，就在液體金屬橋斷裂之後不久，斷路器中就會出現收縮電弧，之後隨著觸頭繼續分離，收縮電弧在達到擴散型電弧之前就會經歷一系列劇烈的電弧模式轉化（射流柱、陽極射流及陽極斑點），這一變化過程取決於極間間隙距離及電弧電流（峰值電流及觸頭分離時的瞬時電流），顯然，這一過程中電弧物理機制更為複雜，而當前大多大電流真空電弧模型是建立在初始擴散過程之後的。然而，儘管在自由燃燒的大電流真空電弧中，原理上講電弧也並不是處於穩定狀態，其不穩定性主要是由於陰極斑點不可控地向側表面運動，進而導致觸頭間離子的損失，這種不穩定將導致電弧在陽極側收縮，在電弧電流超過臨界值時甚至還會產生陽極斑點。如前所述，即使在很小的電流下，陽極也很活躍，以上提及的大電流真空電弧模式均與陽極活動和陽極斑點運動之間的作用息息相關。需要注意的是自由燃燒的大電流真空電弧在小間隙中可以穩定燃燒，這也是一系列陽極與陰極的相互作用結果，而燃弧發展過程及電弧發展的不穩定性都明顯受縱磁及其分布的影響。
接下來面對的問題更複雜，需要耦合陰極斑點、陽極活動、弧柱等離子體、自生磁場以及外部磁場。不幸的是目前的大電流真空電弧模型沒有完全考慮這些耦合，只考慮了陽極活動、陰極斑點運動及其分布之間關係，因此在大部分模型中只仿真了這些耦合作用比較小的擴散態電弧，而很少有對更劇烈的大電流真空電弧模式進行研究。
電極燒蝕現象也會加大大電流真空電弧建模的難度，陰極斑點是超音速等離子體射流的來源，其向陽極運動的典型離子漂移速度為104 m/s ，在大電流真空電弧中距陰極一小段距離處，分開的射流在幾何上發生重疊，然而射流的混合及均質等離子體的形成是在距離陰極很遠的地方出現的，因此大電流真空電弧模型中普遍採用的均質等離子體產生於陰極的假設只在一個臨界電流密度以上有效。
除了以上提及陰極射流產生的快速離子，弧柱中還會存在一些慢離子，慢離子來自於陽極的二次發射等離子體，當電流密度足夠高時，由於碰撞截面較小，兩種離子間的有效碰撞及能量與動量的交換也開始產生影響，也就是說如果電流密度不足夠高，觸頭間區域中存在著兩組離子而不是一組，由於兩組離子間的有效碰撞和能量交換較小，不需要區分開兩種等離子體，目前沒有聽說有描述這種等離子體的方法。不過要注意Londer和Ulyanov提出的數值方法，他們建立了一維準穩態真空電弧模型，使用了三流體或四流體的流體動力學近似，利用這一模型，蒸發原子柱的電離動力學以及每個組分的主要參數分布是可以進行仿真的，進而可以分析快離子與慢離子的運動特性。
另一個大電流真空電弧模型的不確定因素是離子電荷態，一般大電流真空電弧中的等離子體遠非均衡電離，因此原理上不能使用沙哈方程求解，計算原子和離子的激發率及電離率是很複雜的。大部分大電流真空電弧模型中都假定了平均離子電荷態，少數研究中將電離及複合考慮得很簡單。考慮到大電流真空電弧的電子溫度沿電弧軸向和徑向差別很大，可以確定觸頭間電離和複合過程影響很大。
總的來說，現今大電流真空電弧模型主要的缺點是由於對大電流真空電弧動態過程考慮不周，比如陽極活動及極間的電離與複合過程。以上模型都認為極間等離子體為均質的，這在本質上是不合適的，而目前沒有其他可供選擇的方法，另外陰極側與陽極側的邊界條件受到電極現象的影響，這一點仍是需要進一步討論的問題。