用振動力學知識解密央視科普節目

2021-03-01 聲振之家


來源：漫步力學（ID：Walking-mechanics）

作者：張天程 天津大學 

近日，央視一套播出的《加油向未來》科普節目中有這樣一個實驗，吊在同一個繩子上的兩個鞦韆，在兩鞦韆搭載質量相等的情況下，拉起其中一個鞦韆並釋放，隨後兩個鞦韆的擺動此消彼長，相互交替，直到停止。節目嘉賓張雙南教授從柔性繩子的能量傳遞存在延時的角度給出了定性解釋。

實際上，這是一個自由振動的問題，可用振動力學的理論加以解釋。建立模型如下圖，兩個鞦韆看作兩個單擺，因兩個鞦韆主要作前後擺動，因此忽略掉X方向和Y方向的運動情況，只考慮Z方向的運動。

另外，考慮到AC段與CE段、BD段DF段與是同步擺動的，所以兩個擺可以看作是繞AB擺動的，則可進一步簡化模型如圖，其中繩子在Z方向的作用相當於一條彈性的弦，因此簡化為彈簧。

系統僅有兩個自由度φ1和φ2，設兩個鞦韆的擺長均為l，人體質量為m，AC、BD段長為h。以靜平衡位置為零勢能位置，應用拉格朗日方程，建立動力學方程。

動能：

勢能：

拉格朗日方程：

得：

因擺幅較小，所以sinφ1≈φ1，sinφ2=φ2，原方程化為：

可解得

其中

其中為初始條件。

在節目中，開始給了其中一個鞦韆一個初始位移，因此，可得初始條件為

代入方程，解得

因為繩子在Z方向的剛度k很小，因此

相差不大。

因此φ1，φ2可以看作頻率為ω1-ω2/2的簡諧函數，其中φ1為餘弦函數，φ2為正弦函數，因此兩者相位差為π/2，其中一個擺振幅最大時，另一個擺振幅為0。例如，取ω1=49，ω2=51，繪製時間歷程圖如下。

從圖中就可以看出節目中兩個鞦韆的振幅此消彼長變化的規律。

參考文獻

謝官模. 振動力學（第二版）. 北京：國防工業出版社. 2011:116-119.

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